Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат

Нормальный характер распределения свидетельствует о количественной однородности статистических данных и об отсутствии каких-либо причин существенным образом определяющих вариацию изучаемого явления.

Поэтому статистический анализ нередко начинается с проверки того, как фактически (эмпирически) данные ложатся на идеальную теоретическую кривую или аппроксимируются. То есть сравниваются эмпирические и теоретические данные какой-либо кривой. Это производится путем оценки гипотезы нормального характера распределения. Вероятностные статистические предположения выдвигаются в виде нулевой гипотезы. Отклонения эмпирических данных от «нормальных» носят случайный характер. Оценку нулевой гипотезы в данном случае осуществляют графическим методом или путем расчета специальных обобщающих показателей сходства, называемых критериями согласия.

Независимо от выбранного метода генеральные ряды распределения преобразуются в дискретные и стандартизируются.

Пример: Известно, что среднемесячная заработная плата всех рабочих =1402,42 руб., среднеквадратическое отклонение =338,58 руб.

Данные распределения среднемесячной заработной платы:

Средне-месячная заработная плата	Число раб-ков, (эмпир.)					(теор.)
До 700			-2,37	-2,81	0,0241	12,93	3,07	9,41	0,73
700,1-900			-1,78	-1,58	0,0819	44,04	11,96	142,95	0,73
900,1-1100			-1,19	-0,71	0,1969	105,82	-16,82	282,90	3,25
1100,1-1300			-0,60	-0,18	0,3337	179,35	-7,35	54,05	2,67
1300,1-1500			-0,01	0,00	0,3989	214,44	29,56	873,70	0,30
1500,1-1700			0,58	-0,17	0,3365	180,87	-17,87	319,44	4,07
1700,1-1900			1,17	-0,69	0,2002	107,62	-14,62	213,80	1,77
1900,1-2100			1,76	-1,56	0,0840	45,17	18,83	354,42	1,99
Свыше 2100,1			2,36	-2,77	0,0249	13,38	-0,38	0,14	7,85
Итого									0,01
									22,63

В связи с тем, что табличные значения рассчитаны для непрерывно изменяющегося признака с дисперсией равной 1, необходимо скорректировать полученные частности на фактическую величину интервала и среднеквадратическое отклонение.

, где величина интервала. Так как все интервалы равны , тогда .

Графики не позволяют определить насколько существенны отклонения эмпирических и теоретических значений, поэтому более точным считается способ расчета критерия согласия Пирсона известного под названием, как «хи» квадрат:

.

В соответствии с формулой, чем сильнее совпадение кривых, тем меньше величина . При отсутствии отклонений , но даже при небольших отклонениях величина зависит от числа слагаемых, то есть от числа групп. Если >0, то необходима его вероятностная оценка.

- число степеней свободы и заданная вероятность несущественности отклонений эмпирических данных и теоретических. r – число групп, k - число параметров, которые нельзя изменить.

Поскольку фактическое значение (22,63) гораздо больше табличного (5,348) даже для вероятности 0,5, гипотеза о случайном характере отклонений эмпирических данных от теоретических отклоняется.