Линейные дифференциальные уравнения первого порядка с переменными коэффициентами

Рассмотрим линейные дифференциальные уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Выпишем такое уравнение в общем виде:

у¢ + a(x)y = b(x). (5.1.12)

Здесь a(x) ‑ некоторая функция аргумента x. Как мы это делали раньше, вначале будем искать решение однородного уравнения, положив функцию b(x) в правой части (5.1.12) равной нулю. Представив уравнение у¢ + a(x)y = 0 в виде

,

после интегрирования получаем

или

. (5.1.13)

Здесь A ‑ неопределенная константа, которую можно найти из начального условия y(0) = 0.

Пример. Решить уравнение y’ + 2xy = 0 при начальном условии y(0) = 3.

В этом случае

a(x) = 2x,

и начальное условие определяет A = 3. Искомое решение имеет вид

.

Перейдем к решению неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Положим в формуле (5.1.13) A = A(x), то есть будем считать множитель A некоторой функцией от x. Этот метод называется методом вариации произвольной постоянной, и с его помощью мы попытаемся решить уравнение (5.1.12) при условии, что b(x) есть некоторая функция, не равная тождественно нулю. Из формулы (5.1.13) получаем:

; .

После подстановки этих выражений уравнение (5.1.12) принимает вид

,

откуда следует уравнение относительно функции :

,

с решением

.

Подставив это выражение в (5.1.13), получим общее решение уравнения (5.1.12):

. (5.1.14)

Пример. Решить уравнение при начальном условии y(1) = 2. (Заметим, что в данном случае нельзя задавать начальное условие при x = 0, так как это значение не принадлежит области B определения функции F ).

Для решения поставленной задачи можно было бы воспользоваться формулой (5.1.14), но мы пойдем другим путем: применим метод решения уравнений, которым была получена формула (5.1.14).

В нашем уравнении . Решение однородного уравнения получается из формулы (5.1.13):

. (5.1.15)

Реализуем теперь вариацию произвольной константы A, считая, что A = A(x) есть некоторая функция аргумента x. Тогда , и подставив это выражение вместе с приведенным выше выражением для y в исходное уравнение, получим:

,

откуда следует, что A¢(x) = x² или . Если теперь подставить это в формулу (12), то получится общее решение исходного уравнения: . С помощью начального условия найдем значение неопределенной константы C и выпишем решение поставленной задачи: .

Упражнения

1.Решить дифференциальные уравнения

1)	;	2)	;
3)	;	4)	;
5)	;	6)	;
7)	;	8)	;
9)	;	10)	.
11)	;	12)	;
13)	;	14)	;
15)	;	16)	;

Раздел 6. Ряды и интеграл Фурье

Основные сведения

Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции.

Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.

2) Если функция f(x) период Т , то функция f(ax) имеет период .

3) Если f(x) - периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство .