Проекция вектора на ось

Вектором называется направленный отрезок.

Если начало вектора находится в точке А, а конец в точке В, то он обозначается (буква А – начало вектора – всегда пишется первой). Векторы можно обозначать и одной буквой, .

Длиной (модулем) вектора называется длина отрезка АВ или расстояние между точками А и В. Длина вектора обозначается так: или .

Определение. Вектор называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору есть вектор .

Определение. Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Нуль-вектор обозначается символом . Длина (модуль) нуль-вектора равна 0, т.е. . Понятие направления для нулевого вектора не имеет смысла, т.е. нулевой вектор определенного направления не имеет.

Определение. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным и обозначается символом .

Определение. Единичный вектор, направление которого совпадает с вектором , называется ортом вектора , обозначается символом , причем :

Определение. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Определение. Два коллинеарных вектора называются одинаково (противоположно) направленными, если их концы лежат на одну сторону (по разные стороны) от прямой, соединяющих их начало, или от общего начала.

Определение. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.

Определение. Свободными векторами называются векторы начальная точка (точка приложения) можно выбрать свободно.

Определение. Три векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях называются компланарными.

Считаем, что нулевой вектор и любые два других вектора компланарны

Линейные операции над векторами.

Линейными операциями называют операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественное число.

Определение. Суммой двух векторов и называется третий вектор

Определение. Произведением вектора на число m называется вектор , коллинеарный вектору , длина которого равна , и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора , если m > 0 и противоположное направлению вектора в случае m < 0.

Проекция вектора на ось.

Определение. Осью называется прямая, на которой указано положительное направление. Ось Оx определяется единичным вектором .

M

x

О

Определение. Проекцией точки М на ось Ox называется основание перпендикуляра, опущенного из точки М на данную ось.

Определение. Проекцией вектора на ось Ox называется алгебраическая величина отрезка , где и проекции точек А и В на ось Ox (т.е. длина отрезка берется со знаком ”+”, если направление отрезка совпадает с направлением Ox, и со знаком ”–”, если эти направления противоположны

Линейная зависимость векторов. Базис. Координаты вектора.

Определение. Линейной комбинацией n векторов называется выражение вида

(1)

где – любые действительные числа.

Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют действительные числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов (1) обращается в нуль, т.е. имеет место равенство

Определение. Векторы называются линейно независимыми, если равенство (2) возможно лишь в случае, когда все .

Определение. Система векторов образует базис пространства, если:

1) система векторов линейно независима.

2) любой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов , т.е.

3) ,

Если система векторов – базис некоторого пространства и вектор

, (1)

то числа называются координатами вектора в данном базисе, а равенство (1) – разложение вектора по базису .