Таблицы истинности. Тождественно истинные и тождественно ложные высказывания

Отрицанием высказывания х называется новое высказывание, которое истинно, если высказывание ложное и наоборот. Таблица истинности операции отрицания имеет вид:

Дизъюнкцией двух высказываний x и y(логическое «или»)называется новое высказывание, которое будет истинным тогда когда, когда хотя бы одно из высказываний будет истинным.

Конъюнкцией двух высказываний x и y(логическое «и»)называется новое высказывание, которое будет истинным тогда когда, когда оба высказывания истины. Обозначение операции конъюнкция - &(

Импликацией двух высказываний x и y(«если – то») называется новое высказывание, которое ложно тогда, когда х(предпосылка)- истинно, а у(следствие)- ложно.

Эквивалентностью двух высказываний x и y(«тогда и только тогда») называется новое высказывание, которое будет истинно , если высказывания х и у будут одновременно истинны или ложны.

Неодназночностью (суммой по модулю два) двух высказываний x и y(«тогда и только тогда») называется новое высказывание, которое будет истинно тогда когда одно из высказываний х или у истинно, а другое ложно.

Штрих Шеффера (логическое «и - не») высказываний x и y - это новое высказывание, которое будет ложно тогда и только тогда когда оба высказывания истинны.

Стрелка Пирса (логическое «или - не») высказываний x и y - это новое высказывание, которое будет истинно тогда и только тогда когда оба высказывания ложны.

Для операций справедливы следующие приоритеты: ù, &, Ú, ®, «.

Тождественные высказывания. Среди высказываний особое место занимают те, в таблице истинности которых либо одни единицы, либо только нули. Это означает, что высказывание либо всегда истинно, либо ложно, независимо от истинности входящих в него высказываний. Например, высказывание всегда истинно, а высказывание всегда ложно. Доказать это можно составив таблицу истинности этих высказываний.

Сложные высказывания, истинные при любых значениях входящих в них других высказываний, называются тождественно истинными, а высказывания, ложные при любых значениях входящих в них других высказываний, называются тождественно ложными.

Тождественно истинные или тождественно ложные высказывания, если они встречаются в формулах, заменяются в них, соответственно единицей или нулем:

, .

Среди высказываний встречаются такие, таблицы истинности которых совпадают. Эти высказывания называются эквивалентными. Эквивалентными являются, например, высказывания и (то есть ).

Билет№17