Интегрирование основных видов дифференциальных уравнений

ОДУ первого порядка.

14.2.1.Как следует из определения 14.1.1, обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение ;

(5)

где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция. В форме, разрешённой относительно производной, уравнение первого порядка записывается так:

; (6)

Если пользоваться другим обозначением производной, то можно записать (6) как ;

(7)

Общее решение (общий интеграл) уравнения при n = 1 имеет вид или .

14.2.2. Геометрический смысл уравнения первого порядка. Уравнение (6) в каждой точке (x, y) области D, в которой задана функция f(x, y), определяет - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение (6) задаёт в D поле направлений. График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем. Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое уравнением , и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая:

.

Для изображения поля направлений, задаваемого дифференциальным уравнением, рассматривают линии уровня функции f(x, y), т.е. геометрические места точек, в которых касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами. С помощью изоклин можно приближённо изобразить интегральные кривые.

Для примера построим изоклины уравнения . Перебираем различные значения постоянной C, строим линии уровня функции , соответствующие этим значениям С (т.е. прямые ), и на этих линиях ставим чёрточки в направлении, определяемым значением С ( , где - угол между чёрточкой и положительным направлением оси Ох): - ось Оу; ; ; и т.д. Информация о направлении интегральных кривых, полученная из рисунка (выше справа), достаточна, чтобы сделать качественный вывод об их поведении: кривые должны огибать начало координат. Это могут быть окружности или спирали (когда мы научимся решать дифференциальные уравнения, мы легко установим, что это окружности; две такие окружности изображены пунктиром).

А. С разделяющимися переменными

Б.однородные.

В. Линейные

Г. Бернулли

4.2. Уравнение Клеро.

Уравнение Лагранжа.