Арифметические операции над числовыми последовательностями

1. Сумма последовательностей и - это последовательность , элементы которой имеют вид , , , ..., .

2. Разность последовательностей и - это последовательность , элементы которой имеют вид , , , ..., .

3. Произведение последовательностей и - это последовательность , элементы которой имеют вид , , , ..., .

4. Частное последовательностей и (где ≠0 при ) - это последовательность , элементы которой имеют вид , , , ..., .

Определение. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если такое число , что элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Теорема о существовании предела у монотонной и ограниченной последовательности. 'Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности утверждает, что любая ограниченная возрастающая последовательность имеет предел, причем этот предел равен ее точной верхней грани. Несмотря на простоту доказательства, эта теорема оказывается очень удобной для нахождения пределов многих последовательностей, или хотя бы доказательства их существования.

Док-во: Пусть - возрастающая последовательность, ограниченная собственным супремумом . Тогда . Действительно, с одной стороны, если найдется такое число , что в нет элементов , то ( ) - число, меньшее , но большее любого элемента . Cледовательно - не супремум, пришли к противоречию. Значит, - предельная точка . Но у возрастающей последовательности может быть лишь одна предельная точка, это ее предел. Теорема доказана.

Условные обозначения:

: - так, что

Ì – включает

Þ - следует, выполняется

Û - тогда и только тогда

" - любой

$ - существует

] – пусть

! – единственный

[x] – целая часть

~ - эквивалентно

о – малое

Арифметические действия над последовательностями/Леммы о б.м/

Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть и - бесконечно малые последовательности.

: ,

: ,

, :

Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство.

бесконечно малая, - ограниченная.

: ,

: ,

:

.

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

Перечислим все основные виды неопределенностей:

Для раскрытия неопределённостей видов , , пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

1. Для раскрытия неопределённостей типа используется следующий алгоритм:

1.1. Выявление старшей степени переменной;

1.2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

2. Для раскрытия неопределённостей типа существует следующий алгоритм:

2.1. Разложение на множители числителя и знаменателя;

2.2. Сокращение дроби.

Т. о непрерывности функции ] f непрерывна на отр. [a,b] и на концах этого отрезка принимает значение разных знаков

Пусть f(a)<0 f(b)>0 => a+b/2

Выберем (.) где ф-ия прим. Разные знач. Полученный отрезок разобьем и выберем четвертину чтобы выбрать разные знаки и так до бесконечности. Данный метод опр. д/ ~ нахождения корней ф-ии. Следствие: многочлен в нечетной степени им. хотя бы 1 вещественный корень.

Т. О промежуточном значении

Пусть ф-ия непрерывна на отрезки [a,b] для любого значения “С” лежащего между “A” ”B” существует С: f(c)=C (по-любому С между A и В)

Д-во Пусть A<C<B тогда φ(x):=f(x) –C ; φ: (a)= f(a) – C=A-C<0 ;

φ: (b)=f(b) – C=B-C>0

Существует C:= φ(с)=0 ; φ(c) – C=0 ; f(c)=C ч.т.д.