Линейные диф. Уравнения первого порядка

Задания, приводящие к диф. Уравнениям. Основные определения

Множество задач науки и техники. Например задача о вертикальном падении тела под действием сил тяжести и сопротивления среды.

R = kV, где – коэффициент пропорциональности, который определяется опытным путём и считается известным. Нужно найти закон изменения модуля скорости ( v=ϕ(t)) тела с течением времени (t). P= mg. m = . Проецируя на ось Y получаем ma_y=P_y+R_y . Но a_y= dV_y /dt .

m dV_y/ dt=mg-kV .

Дифференциальное уравнение – соотношение связывающее независимую переменную, функцию y=φ(x) и её производные …. Если в диф. Уравнении функция зависит от одного аргумента, то такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнений.

Порядок диф. Уравнения – наивысший порядок производной искомой функции.

Решение диф. Уравнения – всякая функция, подставляемая в уравнение и превращает его верное тождество. Например для решением является y = sin(x).

2. Геометрический смысл диф. Уравнения первого порядка.

tgα = f(x,y) =

Дифференциальному уравнению на плоскости O_xy отвечает поле направлений . – решение диф. Уравнения. Направление касательной к кривой в её точке (x;y) совпадает с направлением поля в этой точке. В любой точке интегральной кривой направление касательной к ней совпадает с направлением поля в этой точке.

3. Диф. Уравнение с разделёнными и разделяющимися переменными.

y = φ(x) – искомая функция от x, M(x), N(y) – заданные непрерывные коэффициенты аргументы относительно соответственно x и y.

По определению следовательно но диф. Уравнение первого порядка, следовательно и равносильное ему уравнение диф.уравнение первого порядка; такое уравнение называют диф. Уравнение с разделёнными переменными. Для его решения перейдём к и возьмём неопределённый интеграл от обеих частей уравнения по x что равнозначно и придём к

F₁(x) + F₂(y)= C получив общий интеграл уравнения. Таким образом, чтобы получить общий интеграл, в уравнении с разделёнными переменными нужно функцию M(x) проинтегрировать по x, функцию N(y) – по y и полученную сумму приравнять C.

4. Однородные диф. Уравнения первого порядка.

Однородное диф. Уравнение первого порядка – это диф. Уравнение первого порядка в которых правую часть f(x,y) можно представить в виде функции одного аргумента = y/x т.е. f(y/x) ,

, F – непрерывная функция аргумента y/x

Представим y/x=U из этого вытекает что

Представив это в виде и умножив это на dx получаем диф. Уравнение с разделёнными переменными Решая его получаем

т.е. Ф(y/x) – ln(x) = C. При U(x)=U принимает вид и после интегрирования имеем .

Итак y=C₁x, при F(U)=U=y/x

Линейные диф. Уравнения первого порядка.

Линейные диф. Уравнения первого порядка это уравнения вида

Где y=φ(x) – искомая функция , а p(x) и q(x) – заданные ,непрерывные на всё интервале x, функции от x. Введём две функции от x : U=U(x) , V=V(x) . И решение ищем через y=UV

Получаем подставляя это в исходное уравнение получаем

. Выберем функцию V(x) так ,чтобы сумма . Умножая на dx получаем уравнение с разделяющимися переменными dV+p(x)Vdx=0, решая его получаем

Примем произвольную постоянную C₁=0 и получим из чего получаем

тогда V(x) = . Подставляя получимое в следовательно , после интегрирования получаем подставляем это в y=UV и имеем y = - решение исходного уравнения.