Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀ функций – есть функция, непрерывная в точке х₀.

2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х₀.

3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х₀, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.

Сложные функции

( Один из способов задания функции )

Пусть заданы две функции , , причем область задания функции F содержит область значений функции , тогда из этой области определения ставится в соответствие , где . Эта функция, определенная соответствием , называется сложной функцией, или суперпозицией функций и F.

Примеры: 1. ; 2. . - явно задана.

Классификация точек разрыва функции

Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f (x) в точке х₀ не является непрерывной.
Это значит, что или не существует предела функции в данной точке, или этот предел не совпадает с тем значением, которое функция принимает в этой точке.
Точка х₀ называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы Точка х₀ называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция f (x) не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
Так для функции в точке х = 0 односторонние пределы равны , то х = 0 является точкой разрыва второго рода

Основные правила нахождения пределов

Предел постоянной величины равен постоянной величине:

Предел суммы равен сумме пределов:

Предел разности равен разности пределов:

Предел произведения равен произведению пределов:

Предел отношения равен отношению пределов:

Предел функции в степени:

Предел корня из функции:

Свойства пределов функции

Пусть все функции, рассматриваемые ниже, определены на (а, в), кроме, быть может, фиксированной точки х_о Î (а, в), тогда верны следующие свойства:

1. Если j ( х ) £ ¦ ( х) £ y ( х ) и

А = = Þ = A.

2. Если ¦(х) = С (сonst) Þ ¦(x) = C .

3. Если cущ. Þ"с - const

4. Если существуют конечные пределы и , тогда:

а) ;

б) ;

в) = .

Все эти свойства доказываются одинаковым методом, основанным на соответствующих свойствах пределов последовательностей. Для доказательства этих свойств введем понятие бесконечно малых и бесконечно больших функций

18. Определение производной и дифференцируемости функции.