Теорема Кронекера-Капели

Определение ранга матрицы.

Рангом матрицы А называют набольший из порядков его миноров отличных от нуля и обознач △RgA. Ранг указывает сколько неизвест и уравн необходимо оставить для решения систем уравнения, в кот глав опр =0 и кол-во уравнений не равно кол-ву неизвестных. Для вычисления ранга матрицы применяется: 1)метод минора; 2)метод элементарных преобразований. Теорема о ранге матрицы.

Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований и с помощью окаймляющих миноров.

1)метод элементарных преобразований: данный метод нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу А привести с помощью элем преобр к матрице, где ниже главной диагонали элементы будут =0. Кол-во не нулевых строк в полученной матрице и будет ранг. Ранг матрицы А не изменится, если: а)Поменять местами два столбца (строки); б)Умножить каждый элемент столбца(строки) на одно и тоже число отличное; в)Сложить два столбца(строки), умножив одно из них на какое-то число.
2)метод миноров: в данном методе необходимо: а)найти минор первого порядка (эл матрицы отличается от 0), если такого минора нет, то матрица нулевая и ее ранг =0, если такой элемент есть, то ранг =>1; б) вычислить минор 2 порядка, если такого минора нет то ранг =1, если есть то ранг =>2; в)для нахождения ранга матрицы таким образом достаточно найти всего 1 не нулевой минор, причем искать его нужно среди тех миноров, которые содержат внутри себя минор порядка на 1 меньше не=0.

Понятие вектора. Модуль вектора.
Вектор – это направленный отрезок прямой, кот имеет опр направление и величину. Вектор ав противоположен вектору ва. Длина вектора (модуль или абсолютная величина вектора) – это расстояние между началом и концом вектора обозначается как [AB].

Теорема Кронекера-Капели.

Условия совместимости систем. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна необходимо и достаточно чтобы ранг её матрицы был равен рангу расширенной матрицы системы. Если ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы и равен n числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы, но меньше n числа неизвестных, то система имеет бесконечное число решений. Если ранг матрицы A меньше ранга расширенной матрицы и равен n числу неизвестных, то система не имеет решения. Если опр что система имеет множ решении, то данную систему решаем следующим образом: 1)система будет иметь свободные и базисные переменные (своб - задаются самостоятельно, баз - вычисляются). Кол-во баз переменных = рангу матрицы состоящих из коэф при неизвест, а все остальные переменные свободные; 2)оставить в системе столько уравнений через = RgA; 3)перенести все свободные переменные в правую часть; 4)решить полученную систему относительно базисных переменных придавая своб переем произвольные значения, а для баз переем получим бесконечное множество решений.

Противоположный и единичный вектора. Коллинеарные вектора. Компланарные вектора. Равные вектора.
Противоположные вектора - два вектора называются противоположными, если их длины равны, и они противоположно направлены. Единичный вектор – это вектор, длина которого равна 1. Коллинеарные вектора – векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Компланарные вектора – векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Коллинеарные вектора всегда компланарные, но компланарные вектора не всегда коллинеарные. Равные вектора – два вектора будут равны, если они сонаправлены и имеют одинаковые модули.

Действия над векторами.
1)сумма – два вектора можно сложить по правилу треугольника или параллелограмма с=а+в
2)разность с=а-в
3)произведение вектора на число а*(лямбда). Это будет вектор длина которого равна [лямбда]*[а], а направление совпадает если лямбда>0, и противоположно если люмбда<0.

Понятие базиса. Координаты вектора в базисе.
Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке. Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор. Если - базис в пространстве и , то числа - называются компонентами или координатами вектора в этом базисе. В связи с этим можно записать следующие свойства: а)равные векторы имеют одинаковые координаты, б)при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,

, в)при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.

Линейная зависимость векторов и свойства.
Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно i , т.е. . Если же только при выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

Свойства: 1)Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы. 2)Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима. 3)Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов. 4)Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны. 5)Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны. 6)Любые 4 вектора линейно зависимы.