Функции нескольких переменных

24. Линии и поверхности уровня. Линией уровня функции двух переменных называется геометрическое место точек на плоскости , в которых функция принимает одно и то же значение. Линии уровня функции определяются уравнением , где . Изучая линии уровня функции, можно исследовать характер ее изменения, не прибегая к пространственному графику. Поверхностью уровня функции трех переменных называется геометрическое место точек в пространстве, в которых функция принимает одно и то же значение. Уравнение поверхностей уровня имеет вид: . Поскольку график функции трех переменных нам недоступен, поверхности уровня являются единственным средством изучения таких функций..

26. Определение 2.Функция u=f(M) называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Условию непрерывности можно придать разностную форму.

Пусть , тогда условие непрерывности имеет вид:

.

27. О: Частным приращением функции z = (х, у) по х называется разность частным приращением по

О: Частной производной по х от функции z = (x, у) называется предел отношения частного приращения к приращению Ах при стремлении последнего к нулю:

Другие обозначения: Аналогично и для перемен-

ной у.

28. Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.

29.Пусть дана функция Предположим, что оба ее аргумента x и y получают соответственно приращения и . Тогда функция также получает приращение, , которое называется полным приращением функции.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение можно представить в виде где –произвольные приращения аргументов x и y в некоторой окрестности точки , A и B–постоянные (не зависят от ), –бесконечно малая более высокого порядка, чем – расстояние между точками и .

Главная часть приращения функции , линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции (обозначается dz, ).

30. определение. Если существует = = , то он называется частной производной (первого порядка) функции z = f (x, y) по переменной x и обозначается = =z'_x = f_x' (x, y).

Аналогично определяется частная производная по переменной y:

= = = = z'_y = f_y(x,y).

31. СМЫСЛ. Рассмотрим семейство линий уровня функции :

Нетрудно показать, что градиент функции в точке перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.

градиент — это производная скалярной функции, определенной на векторном пространстве.

Пространство, на котором определена функция и её градиент может быть вообще говоря как обычным трехмерным пространством, так и пространством любой другой разменности любой физической природы или чисто абстрактным.