Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

С постоянными коэффициентами

Рассмотрим частный случай ДУ (8.12), когда коэффициенты уравнения р и g являются постоянными величинами. Таким образом, дано линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка

, (8.17)

где р и g постоянны.

Это равнение может иметь множество решений, однако среди них необходимо выделить два линейно независимых (базисных) решений.

Будем искать решение уравнения (8.17) в виде , где k - некоторое число. Подставляя эту функцию в уравнение, получаем:

и после сокращения этого равенства на , найдём, что число k должно удовлетворять уравнению

. (8.18)

Уравнение (8.18) называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (8.17).

При решении характеристического уравнения может представиться три случая.

С л у ч а й 1. Дискриминант характеристического уравнения (8.18) , в этом случае уравнение (8.18) имеет два неравных действительных корня k₁ и k₂ ( ). И частными решениями уравнения (8.17) являются функции и . Они образуют базисную систему решений (линейно независимы), т.к. их вронскиан

W(x) = .

Следовательно, общее решение уравнения (8.17) имеет вид

. (8.19)

С л у ч а й 2. Дискриминант характеристического уравнения (8.18) , в этом случае уравнение (8.18) имеет два равных корня k₁ = k₂ = . И частным решением является лишь одно решение . Покажем, что наряду с решением уравнения (8.17) будет также функция . Действительно, подставим функцию в дифференциальное уравнение (8.17).

= =

= .

Но , т.к. k₁ есть корень уравнения (8.18); , т.к. k₁ = . Поэтому , т.е функция является ре-шением уравнения (8.17).

Частные решения и образуют базисную систему решений: определитель Вронского W(x) = . Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ является функция

. (8.20)

С л у ч а й 3. Дискриминант характеристического уравнения (8.18) , в этом случае уравнение (8.18) имеет два комплексных корня k₁ = и k₂ = ( , ). И частными решениями уравнения (8.17) являются функции и . В этом случае легко убедиться, что функции и являются решениями уравнения (8.17) и образуют базисную систему решений. Прежде всего, убедимся, что эти функции и являются решениями дифференциального уравнения (8.17). Подставим значение в уравнение:

= +

+ = .

Но и , тогда = 0 и = 0. Поэтому , т.е функция является решением уравнения (8.17). Аналогичным образом доказывается, что функция также есть решение уравнения (8.17). Кроме того, эти функции и являются линейно независимыми: их вронскиан W(x) = . Таким образом, общее решение уравнения (8.17) в данном случае запишется в виде

= (8.21)

Примеры.

1. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

2. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

2. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение: