Лекция 16. Ряды Тейлора и Маклорена

Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и

Маклорена

 

Покажем, что если произвольная функция задана на множестве , в окрестности точки имеет множество производных и является суммой степенного ряда:

,

то можно найти коэффициенты этого ряда.

Подставим в степенной ряд . Тогда .

Найдем первую производную функции :

При : .

Для второй производной получим:

 

При : .

Продолжая эту процедуру n раз получим: .

Таким образом, получили степенной ряд вида:

 

,

 

который называется рядом Тейлора для функции в окресности точки .

Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена при :

 

Остаток ряда Тейлора (Маклорена) получается отбрасыванием от основных рядов n первых членов и обозначается как . Тогда функцию можно записать как сумму n первых членов ряда и остатка : ,

то есть

.

 

Остаток обычно выражают разными формулами.

Одна из них в форме Лагранжа:

, где . .

 

Заметим, что на практике чаще используется ряд Маклорена. Таким образом, для того, чтобы записать функцию в виде суммы степенного ряда необходимо:

1) найти коэффициенты ряда Маклорена (Тейлора);

2) найти область сходимости полученного степенного ряда;

3) доказать, что данный ряд сходится к функции .

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие сходимости ряда Маклорена). Пусть радиус сходимости ряда . Для того, чтобы этот ряд сходился в интервале к функции , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: в указанном интервале.

Теорема 2. Если производные любого порядка функции в некотором промежутке ограниченны по абсолютной величине одним и тем же числом M, то есть , то в этом промежутке функцию можно разложить в ряд Маклорена.

Пример 1. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки функцию .

Решение.

Находим значение функции и ее производных при .

, ;

, ;

, ;

, ;

,

.......................................................................................................................................

, ;

Подставляем эти значения в ряд. Получаем:

,

или

.

Область сходимости .

Пример 2. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки .

Решение:

Находим значение функции и ее производных при .

, ;

, ;

...........……………………………

, .

Подставляем эти значения в ряд. Получаем:

или .

Найдем область сходимости этого ряда. По признаку Даламбера ряд сходится, если

.

.

Следовательно, при любом этот предел менее 1, а потому область сходимости ряда будет: .

 

Рассмотрим несколько примеров разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций. Напомним, что ряд Маклорена:

.

сходится на интервале к функции .

Отметим, что для разложения функции в ряд необходимо:

а) найти коэффициенты ряда Маклорена для данной функции;

б) вычислить радиус сходимости для полученного ряда;

в) доказать, что полученный ряд сходится к функции .

Пример 3.Рассмотрим функцию .

Решение.

Вычислим значение функции и ее производных при .

.

Тогда числовые коэффициенты ряда имеют вид:

для любого n. Подставим найденные коэффициенты в ряд Маклорена и получим:

Найдем радиус сходимости полученного ряда, а именно:

.

Следовательно, ряд сходится на интервале .

Этот ряд сходится к функции при любых значениях , потому что на любом промежутке функция и ее производные по абсолютной величине ограничены числом .

Пример 4. Рассмотрим функцию .

Решение.

Найдем значение функции и ее производных при :

Нетрудно заметить, что производные четного порядка , а производные нечетного порядка . Подставим найденные коэффициенты в ряд Маклорена и получим разложение:

Найдем интервал сходимости данного ряда. По признаку Даламбера:

.

для любого . Следовательно, ряд сходится на интервале .

Этот ряд сходится к функции , потому что все ее производные ограничены единицей.

Пример 5. .

Решение.

Найдем значение функции и ее производных при :

Таким образом, коэффициенты данного ряда: и , следовательно:

Аналогично с предыдущим рядом область сходимости . Ряд сходится к функции , потому что все ее производные ограничены единицей.

Обратим внимание, что функция нечетная и разложение в ряд по нечетным степеням, функция – четная и разложение в ряд по четным степеням.

Пример 6.Биномиальный ряд : .

Решение.

Найдем значение функции и ее производных при :

Отсюда видно, что:

Подставим эти значения коэффициентов в ряд Маклорена и получим разложение данной функции в степенной ряд:

Найдем радиус сходимости этого ряда:

Следовательно, ряд сходится на интервале . В предельных точках при и ряд может сходится или нет в зависимости от показателя степени .

Исследованный ряд сходится на интервале к функции , то есть сумма ряда при .

Пример 7.Разложим в ряд Маклорена функцию .

Решение.

Для разложения в ряд этой функции используем биномиальный ряд при . Получим:

На основе свойства степенных рядов (степенной ряд можно интегрировать в области его сходимости) найдем интеграл от левой и правой частей данного ряда:

Найдем область сходимости данного ряда: ,

то есть областью сходимости данного ряда является интервал . Определим сходимость ряда на концах интервала. При получим числовой ряд с общим членом . Этот ряд является гармоничным рядом, то есть расходится. При получим числовой ряд с общим членом .

Ряд по признаку Лейбница сходится. Таким образом, областью сходимости данного ряда является промежуток .