Определение предела функции

Методические указания к проведению лекционного занятия

Темы № 2.4. – 2.5. Предел функции. Непрерывность

План:

1. Определение предела функции.

2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

3. Замечательные пределы.

4. Сравнение бесконечно малых.

5. Непрерывность функции.

6. Классификация точек разрыва.

7. Свойства непрерывных функций.

Определение предела функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки за исключением, быть может, самой точки x₀.

Опр.: Число A называется пределом функции y = f (x) в точке x₀(или, что тоже самое, при x, стремящемся к x₀), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x из d-окрестности точки x₀ соответствующие значения y попадают в e-окрестность точки y = A.

Можно сформулировать определение предела функции по-другому.

Опр.: Число A называется пределом функции y = f (x) в точке x₀, если для любого положительного числа e существует такое положительное число d, что для всех x, удовлетворяющих неравенству êx – x₀ ê < d, выполняется условие êy – Aê < e.

Обозначается предел: , или при .

С помощью кванторов всеобщности (для любого) и существования (существует) определение предела функции в точке имеет вид:

.

Геометрический смысл предела функции в точке x₀ заключается в следующем: для любого e > 0 найдётся такая d-окрестность точки x₀, что для всех х из этой окрестности соответствующие значения функции y попадают в полосу e - A < y < A + e .

Рис.1. Графическая иллюстрация определения предела функции при

Опр.: Число A называется правым пределом функции y = f (x) в точке x₀, если для любого e > 0 существует такое число d > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам x₀ < x < x₀+ d, выполняется условие êy – Aê < e. Обозначается:

, или при + 0.

Опр.: Число A называется левым пределом функции y = f (x) в точке x₀, если для любого e > 0 существует такое число d > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам x₀ - d < x < x₀, выполняется условие êy – Aê < e. Обозначается: , или при - 0.

Теорема. Функция y = f (x) имеет в точке x₀ предел тогда и только тогда, когда в точке x₀ существуют равные друг другу правый и левый пределы. При этом предел функции равен односторонним пределам.

Свойства пределов:

Пусть функции и имеют конечные пределы в точке x₀, причем , , тогда

1) ;

2) ;

3) , где С – постоянная величина;

4) , если ;

5) если и , то .

Опр.: Число A называется пределом функции y = f (x) при x, стремящемся к бесконечности, если для любого e > 0 существует такое положительное число S, что для всех x, удовлетворяющих условию êx ê > S, выполняется условие êy – Aê < e, т.е.

.

Геометрический смысл предела функции при x, стремящемся к бесконечности: для любого e > 0 найдётся такое число S > 0, что для всех x, удовлетворяющих условию êx ê > S, соответствующие значения функции y попадают в полосу e - A < y < A + e (рис.).

Рис.2. Графическая иллюстрация предела функции при