Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена

(2)

является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости .

2.Ряд

,

(4)

полученный почленным дифференцированием ряда (2), является степенным рядом с тем же, что и ряд (2), интервалом сходимости . Сумма ряда (4) .

Замечание. Ряд (4) также можно почленно дифференцировать и сумма полученного после этого ряда равна , и так далее. Таким образом, сумма ряда (2) является бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости . Сумма ряда полученного из ряда (2) – кратным дифференцированием, равна . Область сходимости степенного ряда при дифференцировании не изменится.

3. Пусть числа и принадлежат интервалу сходимости ряда (2). Тогда имеет место равенство

(5)

(1)

где –интервал сходимости ряда (1). В этом случае говорят, что функция разлагается в степенной ряд в окрестности точки или по степеням . Определим коэффициенты этого ряда, для чего продифференцируем раз ряд (1).

(1)

… … … … … … … … …

… … … … … … … … …

Все ряды имеют интервалы сходимости . При из полученных тождеств получаем: , , , , …, , … Отсюда находим коэффициенты степенного ряда (1): , , , , …, , … Подставляем полученные значения коэффициентов в ряд (1), получаем

(2)

Ряд (2) называется рядом Тейлора для функции в точке . В частном случае при ряд (2) принимает вид:

(3)

и называется рядом Маклорена.

Таким образом, если функция является суммой степенного ряда, то этот ряд называется рядом Тейлора для функции .

Рассмотрим –ю частичную сумму ряда Тейлора:

(4)

Многочлен (4) называется многочленом Тейлора степени n. Разность называется остаточным членом ряда Тейлора.