Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на[a, b], то

5.Метод замены переменной в определенном интеграле

При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.

6.интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и vопределяется формулой

Проинтегрировав обе части этого выражения, получим

или, переставляя члены,

7.Несобственные интегралы первого рода.Определение Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке , где . Таким образом, можно рассмотреть функцию, зависящую от верхнего предела, как от переменной:

Если эта функция имеет предел при , то число называется значением несобственного интеграла первого рода:

а сам определенный интеграл называется сходящимся. Если же предела не существует, то интеграл называется расходящимся и не имеет никакого числового значения.

8.Несобственные интегралы второго рода

Пусть на полуинтервале задана функция , интегрируемая на любом отрезке, принадлежащем данному интервалу, однако не интегрируемая на отрезке . В точке эта функция может быть вовсе не определена и стремиться к , либо вовсе не иметь никакого предела. Рассмотрим функцию

она определена при . Эта функция может иметь предел при (левосторонний предел). Этот предел будем называть значением интеграла от по всему полуинтервалу и обозначать в точности:

Определение. Пусть функция удовлетворяет указанным выше условиям на . Несобственным интегралом второго рода назовём определенный интеграл

значение которого равняется левостороннему пределу

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения.

9. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР

Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [a ; b].
Если при этом f (х) ≥ 0 на [a ; b], то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями
,
выразится с помощью интеграла: (1)

Если же f (х) ≤ 0 на [a ; b], то −f (х) ≥ 0 на [a ; b].
Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле
или
(2)

Наконец, если линия у = f (х) пересекает ось Ох, то отрезок [a ; b] надо разбить на части, в пределах которых f (х) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул (1) или (2), которая ей соответствует.

10.

Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть известна функция и требуется найти длину дуги, заданной функцией , где .

Для определения длины дуги необходимо вычислить определенный интеграл:

Рассмотрим случай параметрического задания кривой:

 

где . В этом случае для определения длина дуги вычисляется определенный интеграл:

 

Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах где . Тогда для определения длины дуги вычисляется следующий определенный интеграл:

11.

МатематическиОбъём

В общем случае математически объём тела вычисляется по следующей интегральной формуле:

,где — характеристическая функция геометрического образа тела.

Для ряда тел с простой формой более удобным является использование специальных формул. Например, объём куба с длиной стороны, равной a, равен .

Через плотность

Объём находится по формуле:

12.

Вычисление площади поверхности вращения

Найдем площадь поверхности, которая образуется вращением кривой вокруг оси , где .

Указанную площадь можно получить вычислением определенного интеграла:

Теперь рассмотрим случай, когда вращаем кривую вокруг оси , где

В этом случае площадь определяется вычислением следующего определенного интеграла:

13.

Определителем квадратной матрицывторого порядка:

называется число, равное а11а22—а21а12 и обозначаемое символом

Числа а11, а12, а21, а22 называются элементами определителя матрицы второго порядка. Каждый элемент определителя обозначен буквой а с двумя индексами; первый (1) обозначает номер строки, второй (2) - номер столбца, на пересечении которых находится соответствующий элемент (например, элемент а21 принадлежит второй строке и первому столбцу определителя).

Определитель матрицы называют также детерминантом. Для определителя матрицы в контрольных по математике употребляются следующие обозначения:

Определителем квадратной матрицы третьего порядка

называют число

14.Метод Крамера— способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы

Описание методаДля системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы , отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы и , либо набор состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

15.Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы^[1], в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.Матрицы допускают следующие алгебраические операции:сложение матриц, имеющих один и тот же размер;умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую столбцов, можно умножить справа на матрицу,имеющую строк);умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (т. е. скаляр). В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц.Таковы,например, единичная, симметричная,кососимметричная, верхнетреугольная

Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита: пусть

,

тогда — матрица, которая интерпретируется как прямоугольный массив элементов поля вида , где первый индекс означает индекс строки: ;,второй индекс означает индекс столбца: ;

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса еще называют методом последовательных исключений, поэтому основная задача, на каждом шаге исключать переменную, пока не останется одна. Если использовать матрицы, то это означает, что используя элементарные преобразования и перемещения столбцов необходимо привести расширенную матрицу к виду:

	a'12	...	a'1r	a'1r+1	...	a'1n	b'1
		...	a'2r	a'2r+1	...	a'2n	b'2
...	...	...	...	...	...	...	...
		...		a'rr+1	...	a'rn	b'r
		...			...		b'r+1
...	...	...	...	...	...	...	...
		...			...		b'm

На этом шаге можно закончить преобразования, и последовательно находить корни системы уравнений в обратном порядке, но что бы этого не делать, продолжим и приведем матрицу к более удобному для нас виду:

		...			...		b''1
		...			...		b''2
...	...	...	...	...	...	...	...
		...			...		b''r
		...			...		b''r+1
...	...	...	...	...	...	...	...
		...			...		b''m

Глядя, на эту матрицу видно, что в каждой строке присутствует лишь одна переменная и свободный член, что нам и нужно

 

16.Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матрицобратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицы , где обозначает определитель. для любых двух обратимых матриц и . где обозначает транспонированную матрицу. для любого коэффициента .Если необходимо решить систему линейных уравнений , (b — ненулевой вектор) где — искомый вектор, и если существует, то . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

, где — основная матрица системы, и — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на — матрицу, обратную к матрице :

Так как , получаем . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

.

17.

Векторы и линейные операции над ними.Одна точка такого отрезка является началом, а другая граничная тока — концом вектор. Вектор обозначается или , где является началом вектора, а — концом. Длина вектора (также называемый его модулем) обозначается как или .

Нуль-вектором именуется вектор, в котором конец совпадает с его началом.

 

О: Коллинеарными именуются векторы, которые расположены на параллельных (к примеру, на одной) прямых, а компланарными называются векторы, которые находятся в параллельных плоскостях.

О: Равными являются векторы, которые: 1) коллинеарны; 2) направлены одинаково ( то есть сонаправлены — ↑↑); 3) обладают равными модулями.Таким образом, существует возможность переноса вектора параллельно самому себе, при перемещении начала в любую прочую точку. Векторы подобного типа именуются свободными.

Линейные операции, выполняемые над векторами: сложение, вычитание и умножение на число.

Сложение векторов

Суммой и совмещён с началом вектора с концом вектора (рис. 2.2, а).

Свойства сложения векторов:

1⁰. Переместительный закон (коммутативность): 2⁰. Сочетательный закон:

Доказательство выводится из рис. 2.3. На этом же рисунке дано правило сложения нескольких векторов, в случае когда начало следующего вектора совмещается с концом предыдущего. Сумма представляет собой вектор, который соединяет начало первого вектора с концом последнего слагаемого вектора.

Вычитание векторов

Разностью и векторов и является вектор , для которого справедливо . Исходя из определения имеем правило построения вектора , когда начала обоих векторов совмещены: необходимо совместить конец вычитаемого вектора с концом уменьшаемого вектора