Лабораторная работа № 5

Тема: Решение нелинейных уравнений. Комбинированный метод хорд и касательных.

Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.

2) Уточнить корни уравнения данным методом с точностью .

3) Нарисовать схему применения метода к каждому корню уравнения.

 

 

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) ;

27) ;

28) ;

29) ;

30) ;

31) ;

32) ;

33) ;

34) ;

35) ;

36) ;

37) ;

38) ;

39) ;

40) ;

41) ;

42) ;

43) ;

44) ;

45) ;

46) ;

47) ;

48) ;

49) ;

50) ;

51) ;

52) ;

53) ;

54) ;

55) ;

56) ;

57) ;

58) ;

59) ;

60) .

 

 

Образцы выполнения заданий лабораторных работ №3-5

(Приближенное решение нелинейных уравнений. Метод хорд, касательных (Ньютона), комбинированный метод).

 

I). Найти приближенные решения уравнения методом хорд с точностью .

Отделим корни этого уравнения графически (можно и программно). Для этого построим графики функций , и найдем абсциссы точек пересечения графиков этих функций: , .

Рассмотрим в качестве примера первый корень. Уточним его методом хорд. Для этого определим знаки функции и второй ее производной на этом отрезке .

,

;

, ; так как , то , .

Поскольку , то применяем формулу

,

где неподвижная точка , а начальная точка .Получим следующую таблицу

-2	-0,362357754	0,5	-0,398816882
-2,101183118	-0,043988132	0,398816882	-0,386900836	0,011916	0,101183
-2,113099164	-0,004912162	0,386900836	-0,38557473	0,001326	0,011916
-2,11442527	-0,000543307	0,38557473	-0,385428113	0,000147	0,001326
-2,114571887	-0,000060028	0,385428113	-0,385411914	1,62E-05	0,000147
-2,114588086	-0,000006632	0,385411914	-0,385410125	1,79E-06	1,62E-05
	-2,5	-2	1,428246056

Где , , .

 

Схема применения метода хорд.

Оценим погрешность приближения. Так как не меняет свой знак на данном отрезке, то достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах отрезка , поэтому для .

А) Тогда используя оценку погрешности

,

получим , .

Следовательно, приближенное значение корня равно .

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Имеем , , . Округлим до . Получим , , .

Найдем число верных знаков для . Имеем , , . Так как , то получим приближенное значение корня с числом верных знаков .

Ответ: .

Б) Верна так же следующая формула оценки погрешности приближенного значения корня:

, .

Для нашего уравнения имеем , .

Тогда полагая , получим

.

Следовательно, приближенное значение корня равно .

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Имеем , , . Округлим до . Получим , , .

Найдем число верных знаков для . Имеем , , . Округлим до . Получим , , .

Найдем число верных знаков для . Имеем , , . Так как , то получим приближенное значение корня с числом верных знаков .

Ответ: .

II)Найти приближенные решения уравнения методом касательных (методом Ньютона) с точностью .

Отделим корни этого уравнения графически (можно и программно). Для этого построим графики функций , и найдем абсциссы точек пересечения графиков этих функций: , .

В качестве примера рассмотрим второй корень. Уточним его методом касательных. Для этого определим знаки функции и второй ее производной на этом отрезке : , ; , ; так как , то , .

Поскольку , то применяем формулу , .

 

0,5	1,229205172	4,099762141	0,2998235
0,200176466	0,096960102	4,099762141	0,0236502	0,2998235
0,176526289	0,016437048	4,099762141	0,0040093	0,0236502
0,17251702	0,002921590	4,099762141	0,0007126	0,0040093
0,171804396	0,000523415	4,099762141	0,0001277	0,0007126
0,171676726	0,000093904	4,099762141	0,0000229	0,0001277
0,171653822	0,000016851	4,099762141	0,0000041	0,0000229

 

 

	0,5	-0,54030231	1,229205172	2,65376579	2,02516174

 

Схема применения метода касательных.

Оценим погрешность приближения. Так как не меняет свой знак на данном отрезке, то достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах отрезка , поэтому для .

А) Тогда используя оценку погрешности

,

получим , .

Следовательно, приближенное значение корня равно .

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Имеем , , . Округлим до . Получим , , .

Найдем число верных знаков для . Имеем , , . Округлим до . Получим , , . Найдем число верных знаков для . Имеем , , . Так как , то получим приближенное значение корня с числом верных знаков .

Ответ: .

Б) Верна так же следующая формула оценки погрешности приближенного значения корня:

, .

Для нашего уравнения имеем , .

Тогда полагая , получим

Следовательно, приближенное значение корня равно .

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Имеем , , .

Округлим до . Получим , , .

Найдем число верных знаков для . Имеем , , . Так как , то получим приближенное значение корня с числом верных знаков .

Ответ: .

Замечание. Из сравнения результатов пунктов А) и Б) метода касательных видно, что оценка во втором пункте позволяет получить приближенный результат за меньшее число приближений и с большим числом верных цифр.

 

III)Найти приближенные решения уравнения комбинированным методом с точностью .

Отделим корни этого уравнения графически (можно и программно). Для этого построим графики функций , и найдем абсциссы точек пересечения графиков этих функций: , .

Рассмотрим второй корень в качестве прмера. Уточним его комбинированным методом. Для этого определим знаки функции и второй ее производной на этом отрезке : , ; , ; , так как , то , .

Тогда применяем формулы

, , .

Процесс продолжаем до выполнения условия , тогда за приближенное значение корня можно взять значение

.

 

0,00000000	0,50000000	-0,54030231	-0,15267025	1,22920517	0,29982353
0,15267025	0,20017647	-0,06340140	-0,01878232	0,09696010	0,02823997
0,17145257	0,17193650	-0,00066012	-0,00019622	0,00096789	0,00028766
0,17164879	0,17164884	-0,00000007	-0,00000002	0,00000010	0,00000003
	4,09976214	0,50000000	0,25000000	0,25000000
	3,43343558	0,04750621	0,17642336	0,02375311
	3,36472286	0,00048393	0,17169453	0,00024197
	3,36401785	0,00000005	0,17164882	0,00000003

 

Схема применения комбинированного метода.

 

 

Найдем число верных знаков у приближенного корня . Так как , то получим . Округлим до верных знаков , при этом погрешность округления будет , а погрешность приближенного решения . Найдем число верных знаков , .

Округлим до верных знаков , при этом погрешность округления будет , а погрешность приближенного решения .

Найдем число верных знаков , . Так как , то прекращаем округление.

 

Ответ: .

 

Лабораторная работа № 6

Тема: Решение системы линейных уравнений методом итерации и методом Зейделя.

Задание:

1)Решить систему линейных уравнений методом итерации и методом Зейделя с точностью ;

2)Найти погрешности полученных приближенных решений;

3)Сравнить полученные приближенные решения и их погрешности.

Вопросы самоконтроля.

1) Постановка задачи.

2) Основная идея метода итерации.

3) Какое условие должно выполняться для сходимости итерационной процесса?

4) Сформулировать канонические нормы, используемые в методе итерации.

5) Как находится равносильная система уравнений, применяемая для итерационного процесса? Критерий выбора равносильной системы уравнений.

6) Как определяется погрешность метода итерации при заданной точности?

7) В чем отличие метода Зейделя от метода итерации?

 

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

46)

47)

48)

49)

50)

51)

52)

53)

54)

55)

56)

57)

58)

59)

60)