Задание 1. Построение оценки максимального правдоподобия и её доверительного интервала для параметра экспоненциального распределения длительности события

Экспоненциальное распределение характерно для длительности электронных приборов и элементов при отсутствии дрейфа параметров – старения. Длительность события, имеющая экспоненциальное распределение, описывается плотностью вероятности вида

и функцией дожития

Логарифм функции правдоподобия, построенной по независимой выборке длительностей с цензурированием, имеет вид

, (3.1)

где , если наблюдение нецензурировано, , если наблюдение цензурировано, m – число нецензурированных наблюдений (случаев). Необходимым условием максимума выражения (3.1) является равенство нулю первой производной LnL по a

,

откуда получаем, что оценка максимального правдоподобия параметра экспоненциального распределения равна

.

При отсутствии цензурирования и оценка максимального правдоподобия параметра экспоненциального распределения принимает вид

(3.2)

Убедимся, что найден именно максимум логарифма правдоподобия. Вычислим вторую производную LnL по a

.

Поскольку вторая производная LnL по a в точке отрицательна, то найден максимум логарифма правдоподобия.

Построение доверительного интервала

1. При отсутствии цензурирования, построение доверительного интервала для оценки максимального правдоподобия параметра a основывается на асимптотической нормальности первой производной LnL по a. Согласно этому свойству, при большом числе наблюдений случайная величина при истинном значении параметра a имеет приближённо нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией . Вторая производная также вычисляется при истинном значении параметра a. Нормальность распределения обозначается записью . По свойству нормального распределения, при большом числе наблюдений для случайной величины , вычисленной при истинном значении параметра a, с вероятностью 0.95 справедливо

Выражение для первой производной логарифма правдоподобия без цензурирования запишем в виде

,

а в выражение для второй производной логарифма правдоподобия без цензурирования подставим вместо истинного значения параметра a его оценку . Получим

.

Подставляя найденные выражения в (3.3), получим

.

Преобразуя, получим, что с вероятностью 0.95 истинное значение параметра a лежит между границами

. (3.3)

2. При наличии цензурирования для построения доверительного интервала оценки параметра экспоненциального распределения можно использовать метод профиля логарифма правдоподобия. Этот метод основан на том, что при большом числе наблюдений случайная величина имеет распределение с одной степенью свободы. Из свойств распределения следует, что с вероятностью 0.95 справедливо неравенство .

Метод профиля логарифма правдоподобия иллюстрирует рис. 1. Вычисления проводятся в следующем порядке:

1. строится график функции ;

2. максимальное значение графика достигается при ;

3. вычисляется критическое значение и решается неравенство ;

4. интервал, соответствующий решению неравенства, с доверительной вероятностью 0.95 является доверительным интервалом для параметра экспоненциального распределения.

Рисунок 1. Иллюстрация вычисления доверительного интервала по профилю логарифма правдоподобия.

1.1 Получите у преподавателя значения параметров a и n. Запишите оператор для генерации независимой выборки значений экспоненциально распределённой случайной величины с параметром a

X=exprnd(1/a,1,n);

1.2 По формуле (3.2) вычислить оценку максимального правдоподобия для параметра a, обозначив её a0. Вывести на экран точное значение параметра а, полученное в задании, и построенную оценку a0. Для вывода использовать оператор

disp([‘a=’,num2str(a),’ estimate a=’,num2str(a0)]);

1.3 По формуле (3.3) вычислить границы 95% доверительного интервала для параметра a, обозначив их a1 и a2. Вывести a1 и a2 на экран компьютера с помощью оператора

disp([num2str(a1),’ < a < ‘,num2str(a2)]);

1.4 Считая, что цензурирования нет, построить по формуле (3.1) график логарифма правдоподобия, вычислить критическое значение t, найти приближённое решение неравенства , вывести результат на экран компьютера. Для вычислений можно использовать следующие операторы

at1=0.05; at2=0.2; % величины at1 и at2 могут изменяться

% в зависимости от сгенерированной выборки

at=at1:0.001:at2;

i=0;

for a=at

i=i+1;

LnL(i)=n*log(a)-a*sum(X);

end

t=n*log(a0)-a0*sum(X)-1.92;

plot(at,LnL,'k',[at(1),at(end)],[t t],’--’)

box off; xlabel('a')

at=at(LnL>=t);

disp([num2str(at(1)),’ < a < ‘,num2str(at(end))]);

1.5 С помощью команды run Lab3 выполните записанные операторы. Значения параметров, построенный график и выведенные на экран числа внесите в отчёт о выполнении лабораторной работы. Сделайте вывод о близости оценки параметра экспоненциального распределения, построенной методом максимального правдоподобия, к истинному значению параметра. Убедитесь, что истинное значение параметра экспоненциального распределения попадает в 95% доверительный интервал, вычисленный двумя методами.

Задание 2. Построение оценок максимального правдоподобия и их доверительной области для параметров модели Вейбулла распределения длительности события