Поток Пальма. Поток Эрланга

Кроме понятия простейшего потока событий иногда приходится пользоваться понятиями потоков других типов. Например, поток событий называется потоком Пальма, когда в потоке промежутки времени м/у последовательными событиями Т₁, Т₂, …, Т_к, …, Т_n являются независимыми, одинаково распределенными, случайными величинами, но в отличие от простейшего потока не обязательно распределенными по показательному закону. Простейший поток является частным случаем потока Пальма.

Важным частным случаем потока Пальма является так называемый поток Эрланга. Этот поток получается «прореживанием» простейшего потока. Такое «прореживание» производится путем отбора по определенному правилу событий из простейшего потока. Например, условившись учитывать только каждое второе событие из образующихся простейший поток, мы получим поток Эрланга второго порядка. Если брать только каждое третье событие, то образуется поток Эрланга третье порядка и т.д. Можно получить потоки Эрланга любого к-го порядка. Очевидно, простейший поток есть поток Эрланга первого порядка.

Любое исследование системы массового обслуживания начинается с изучения того, что необходимо обслуживать, следовательно, с изучения входного потока заявок и его характеристик.

Поскольку моменты времени t_i и интервалы времени поступления заявок t, затем продолжительность операций обслуживания t_обс и время ожидания в очереди t_оч, а также длина очереди l_оч – случайные величины, то, следовательно, характеристики состояния СМО носят вероятностный характер, а для их описания следует применить методы и модели теории массового обслуживания.

Перечисленные выше характеристики k, t, l, L_оч, T_оч, n, t_обс, m, r, Р_k являются наиболее общими для СМО, которые являются обычно лишь некоторой частью целевой функции, поскольку необходимо учитывать еще и показатели коммерческой деятельности.

Графы состояний СМО.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем удобно пользоваться вариантом схематичного изображения возможных состояний СМО (рис. 6.2.1) в виде графа с разметкой его возможных фиксированных состояний. Состояния СМО изображаются обычно либо прямоугольниками, либо кружками, а возможные направления переходов из одного состояния в другое ориентированы стрелками, соединяющими эти состояния. Например, размеченный граф состояний одноканальной системы случайного процесса обслуживания в газетном киоске приведен на рис. 6.2.1.

Система может находиться в одном из трех состояний: S₀ – канал свободен, простаивает, S_i – канал занят обслуживанием, S₂ — канал занят обслуживанием и одна заявка в очереди. Переход системы из состояния S_Q В S_I происходит под воздействием простейшего потока заявок интенсивностью l₀₁, а из состояния S_i в состояние 5* 0 систему переводит поток обслуживания с интенсивностью l₁₀. Граф состояний системы обслуживания с проставленными интенсивностями потоков у стрелок называется размеченным. Поскольку пребывание системы в том или ином состоянии носит вероятностный характер, то вероятность p_i(t) того, что система будет находиться в состоянии S_i в момент времени t, называется вероятностью i-го состояния СМО и определяется числом поступивших заявок k на обслуживание.

Цепи Маркова.

Случайный процесс, происходящий в системе, заключается в том, что в случайные моменты времени t₀, t₁, t₂,..., t_k,..., t_n система оказывается в том или другом заранее известном дискретном состоянии последовательно. Такая случайная последовательность событий называется марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из одного состояния S_i в любое другое S_j не зависит от того, когда и как система перешла в состояние S_i. Описывается марковская цепь с помощью вероятности состояний, причем они образуют полную группу событий, поэтому их сумма равна единице. Если вероятность перехода не зависит от номера k, то марковская цепь называется однородной. Зная начальное состояние системы обслуживания, можно найти вероятности состояний для любого значения k – числа заявок, поступивших на обслуживание.