Бесконечномерный случай

Описанные выше приемы, относящиеся к конечномерному случаю, могут быть распространены на бесконечномерный. Следующие результаты, приводящиеся без доказательств, характеризуют метод М.М. Лаврентьева решения неустойчивых задач. Ограничением применимости метода служит условия положительности( при ) и самосопряженности ( ). Доказательство приводится в [ 3, стр.63].

Пусть А, - линейные самосопряженные положительные операторы, действующие на гильбертовом пространстве Х. и , соответственно, - точные и приближенные данные задачи (7) а - ошибка данных. Пусть существует (т.е. А - взаимно-однозначно). Тогда уравнение

, (4.12)

где - единичный оператор, разрешимо для любых , , и его решение - сходится к решению задачи (7) с точными данными при связи и такой, что:

. (4.13)

Таким образом, семейство операторов:

,

параметризованное числом , для которого выполняется требование (13), есть регуляризирующее семейство, а - регуляризированное семейство приближенных решений. Параметр называется параметром регуляризации. Выбор величины параметра регуляризации по правилу (13) объясняется следующим неравенством:

так что при имеем .

При отсутствии ошибок в операторе Метод М.М. Лаврентьевапри некоторых дополнительных условиях оказывается оптимальным по порядку на множестве , где В - линеен, ограничен, действует из X в X. В том случае, когда в операторе имеются погрешности и используется необходимо вводить двухсторонние оценки для возникающих погрешностей при использовании процедуры регуляризации по Лаврентьеву [2 стр.141]. Если множество М как и выше имеет вид , но оператор B дополнительно коммутирует как с А, так и , то двухсторонняя оценка погрешности для метода Лаврентьева выражается через модуль непрерывности обратного к оператора на подмножестве в с условием невязки : [16][3.стр.139].

(4.14)

Обобщением на бесконечномерный случай первого из описанных выше приемов регуляризации задачи для матрицы требует введение понятия разложения единицы для самосопряженного положительного оператора - со спектром, целиком заполняющим отрезок . Это аналог системы собственных функций, образующих собственные подпространства так, что и функция от оператора считается по формуле . В этом случае аналогом соотношения (9), определяющего регуляризованный оператор служит:

. (3.14)

- разложение единицы, порожденное оператором .

Если - строго возрастающая, непрерывная и равная нулю в нуле функция,

,

и подчинено условию:

, то (14) – семейство регуляризующих операторов.

Описанные подходы требуют самосопряженности и положительности оператор . Если указанное условие не выполнено, то можно перейти к уравнению с самосопряженным положительным оператором путем умножения оператора на сопряженный - :

.

Оператор уже удовлетворяет требуемым условиям. Однако такой путь имеет тот недостаток, что для неустойчивой задачи домножение оператора на сопряженный приводит к еще большему ухудшению свойств устойчивости. Это происходит потому, что при умножении операторов их собственные числа умножаются, и малое собственное число после умножения само на себя становиться еще меньше. Таким образом, при умножении оператора на свой сопряженный на первом этапе свойства устойчивости еще более ухудшаются, а лишь далее положение исправляется. Такой путь следует применять тогда, когда свойства оператора не допускают применение иных алгоритмов регуляризации.