Порядок выполнения работы. 1. В лабораторном журнале приготовить по одной таблице по форме табл

 

1. В лабораторном журнале приготовить по одной таблице по форме табл. 19 и табл. 20.

 

Задание 1. Определить параметры маятника Максвелла.

 

2. С помощью штангенциркуля измерить по пять раз радиусы и длины оси и диска R и L. Вычислить средние значения и рассчитать объемы оси и диска V_o и V_Д.

3. Используя табличные значения плотности металла ρ=2700 кг/м³ (алюминия), из которого изготовлены ось и диск, рассчитать значения масс m_o и m_Д. Полученные результаты занести в табл. 19.

4. Измерить штангенциркулем значения R_к (для трех колец) и занести в табл. 19. Определить средние значения.

 

Таблица 19

Результаты измерения размеров маятника Максвелла и навесных колец

	Ось маятника	Диск маятника	Кольца
№	Ro, м	Lo, м	RД, м	LД, м	Rк1, м	Rк2, м	Rк3, м
Средние значения
Vo =	mo =	VД =	mД =

 

Задание 2. Определить момент инерции маятника

 

5. По шкале, пользуясь линейкой-указателем кронштейна, определить ход маятника h.

6. Нажать кнопку «Сеть», расположенную на лицевой панели миллисекундомера, при этом должны загореться лампочка фотодатчика и цифровые индикаторы миллисекундомера.

7. Вращая маятник зафиксировать его в верхнем положении при помощи электромагнита, при этом необходимо следить за тем, чтобы нить наматывалась на ось виток к витку.

Таблица 20

Результаты определения момента инерции маятника Максвелла

mк1 = кг; h = м
t, с						tср= с	J= кг·м2
mк2 = кг
t, с						tср= с	J= кг·м2
mк3 = кг;
t, с						tср= с	J= кг·м2

8. Нажать на кнопку «Сброс» для того, чтобы убедиться, что на индикаторах устанавливаются нули.

9. При нажатии кнопки «Пуск» на миллисекундомере, электромагнит должен обесточится, маятник должен начать раскручиваться, миллисекундомер должен произвести отсчет времени, а в момент пересечения маятником оптической оси фотодатчика счет времени должен прекратиться.

10. Испытания по пунктам 7–9 провести не менее пяти раз и определить среднее значение времени t.

11. Определить момент инерции маятника по формуле (68).

12. Испытания по пунктам 7–6 провести для трех сменных колец.

13. Все полученные результаты занести в таблицу. Определить средние значения.

14.Расчитать теоретические значения момента инерции маятника по формуле (69) и сравнить с опытными значениями.

15. Оцените относительную погрешность определения момента инерции для всех трех опытов по формуле:

 

Лабораторная работа №12

 

ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

Цель работы: ознакомиться с теорией механических гармонических колебаний; измерить ускорение свободного падения тел с помощью оборотного маятника.

 

Введение

 

Процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени, называются колебаниями. Описывающие их функции времени обладают свойством периодичности. В частности, для механических колебаний таким свойством обладают обобщенные координаты системы, т.е. величины, однозначно определяющие в каждый момент времени положение системы в пространстве, но не обязательно являющиеся декартовыми координатами.

Различают свободные и вынужденные колебания. Свободными называются колебания, которые совершает система, предоставленная самой себе после какого-либо внешнего воздействия. Вынужденными называются колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы.

Гармонические колебания.

Простейшими колебаниями являются гармонические колебания, при которых обобщенные координаты системы изменяются по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен, во-первых, потому, что реальные колебания часто имеют характер, близкий к гармоническим, а, во-вторых, периодические процессы с другой зависимостью от времени могут быть представлены в виде суперпозиции гармонических колебаний.

В качестве примера собственных гармонических колебаний рассмотрим движение материальной точки (частицы) массой m под действием упругой силы

где ; – радиус-вектор частицы относительно положения равновесия.

Уравнение движения частицы в соответствии со вторым законом Ньютона запишется в виде:

или подставив соотношение между ускорением и координатой и перенося все слагаемые в лево получим дифференциальное уравнение колебаний:

(70)

 

Поскольку момент упругой силы относительно точки , то момент импульса частицы относительно той же точки и движение будет происходить в фиксированной плоскости, перпендикулярной вектору момента импульса. Введем в этой плоскости систему координат XOY с началом в положении равновесия частицы. Тогда, проектируя уравнение (70) на координатные оси, приходим к системе двух независимых дифференциальных уравнений:

.

(71)

Будем искать решение уравнении (71) в виде

.

(72)

где – некоторые константы.

Дважды дифференцируя функции (72) по времени

и подставляя производные и пробные функции (72) в (71), получаем:

.

Поскольку не является тождественным нулем, то функции (72) будут решением уравнений (71) при произвольных A и φ. Из механического уравнения (71) можно определить только константу ω₀:

.

(73)

Движение частицы, описываемое законом (72), называют гармоническими колебаниями.

Постоянную ω₀, определяющую механическими характеристиками (жесткостью и массой) колебательной системы в отсутствии диссипативных сил, называют собственной циклической частотой колебаний. В теории колебаний, аналогично как и в кинематике движения тела по окружности, определяют период T (время одного полного колебания) и частоту ƒ (количество колебаний за одну секунду) колебаний. Циклическая частота ω, период T и линейная частота ƒ связаны соотношениями:

.

Аргумент под косинусом называют полной фазой колебаний. Константу A называют амплитудой колебаний. Амплитуда колебаний – максимальное смещение их положения равновесия тела, совершающего колебания. Константу φ, стоящую в аргументе косинуса, называют начальной фазой колебания. Начальная фаза колебания определяет координату тела в момент начала наблюдения. Значения постоянных A и φ определяется из начальных условий, задающих соответственно начальное положение и начальную скорость частицы.

Функции (72) определяют кинематический закон движения частицы под действием упругой силы. Вид траектории движения в плоскости XOY зависит от начальных условий, а следовательно, от значений констант .

В частности, если и A≠0, то уравнение траектории имеет вид , и частица совершает гармонические колебания с частотой и амплитудой вдоль диагонали прямоугольника со сторонами 2А и 2В (рис. 12). Если же , а , то уравнение траектории имеет вид , т.е. частица движется по эллипсу с полуосями А и В (рис. 13)

Рис. 12. Рис. 13.

Таким образом, в данном случае периодическое движение по замкнутой кривой может рассматриваться как суперпозиция двух гармонических взаимно перпендикулярных колебаний.

Физический маятник.

Рассмотрим теорию колебаний физического маятника. Физическим маятником называют твердое тело, совершающее колебания вокруг оси, проходящей через любую его точку, не совпадающую с центром инерции (тяжести) тела. Это механическая система с одной степенью свободы. В качестве обобщенной координаты выберем угол отклонения прямой, проходящей через точку подвеса О и центр инерции С (рис. 3), от вертикали (положения равновесия).

Рис. 14. Физический маятник и схема приложения сил

 

Будем считать что Θ>0 при x>0 и Θ<0 при x<0. Допустим, что в рассматриваемый момент времени маятник движется от положения равновесия, т.е. , а угловая скорость сонаправлена с осью Z ( ). Момент силы тяжести , относительно точки О в этом положении противоположен вектору орта оси координат Z, обозначенном на рис. 3 как . Поскольку момент силы реакции оси относительно точки О равен нулю, то уравнение движения физического маятника запишется в виде:

.

(74)

где J – момент инерции маятника относительно оси вращения Z; – проекция угловой скорости на ось вращения; – проекция момента сил на ось вращения.

Проекция угловой скорости на ось вращения совпадает с угловой скоростью по значению, а проекция момента импульса на ось вращения направлена против угловой скорости. Следовательно , , где – расстояние от точки подвеса до центра инерции маятника. Следовательно, вместо (74) получаем:

 

;

или

.

(75)

Если ограничиться случаем малых колебаний, т.е. малых углов отклонения, удовлетворяющих в радианной мере приближенному равенству , то уравнение (5.9) перепишется так:

.

(76)

Сравнивая (76) с (71), заключаем, что общее решение этого уравнения имеет вид:

;

(77)

где

,

(78)

– угол наибольшего отклонения маятника от положения равновесия.

Из (78) вытекает, что период малых колебаний физического маятника

(79)

Таким образом, малые колебания физического маятника являются гармоническими.

Далее замечаем, что отношение имеет размерность длины. Учитывая это обстоятельство, введем понятие приведенной длины физического маятника:

(80)

Тогда формула (79) приобретает вид, аналогичный как и для математического маятника:

.

(81)

Приведенная длина физического маятника всегда больше расстояния от оси вращения до центра тяжести l. Действительно, согласно теореме Штейнера момент инерции маятника относительно оси вращения:

;

(82)

где J_C – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс параллельно оси Z (см. рис. 14). Разделив это выражение почленно на ml, находим

Но по определению . Поэтому и, следовательно, . Точку O’ лежащую на прямой, проходящей через точку подвеса О и центр масс С, на расстоянии приведенной длины от точки О называют центром качания физического маятника. Точка подвеса и центр качания обладают замечательным свойством взаимности: если точку подвеса О и центр качания О' поменять местами, то период малых колебаний физического маятника не изменится. Действительно, новый период колебаний будет равен

(83)

где J' – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О'; – расстояние от О' до центра масс С.

Но согласно теореме Штейнера

(84)

Вычитая из (84) (82), получаем

откуда с учетом (80)

(85)

Подставляя (85) в (83) находим

 

Методика измерений

 

На свойстве взаимности точки подвеса и центра качания основано определение ускорения свободного падения с помощью так называемого оборотного маятника. Оборотным называется физический маятник, у которого имеются две параллельные друг другу закрепленные на осевом стержне маятника опорные призмы, за которые он может поочередно подвешиваться (рис. 15). Вдоль того же стержня могут закрепляться и перемещаться тяжелые грузы. Перемещением призм (или грузов) добиваются того, чтобы при подвешивании маятника за любую из призм период колебаний был одинаков. Тогда расстояние между опорными ребрами призм будет равно приведенной длине.

 

Рис. 15. Схема оборотного маятника, применяемого в установке

Измерив период колебаний маятника по определению, как отношение времени t полных колебаний к их числу n и приведенную длину L₀, можно по формуле (81) найти ускорение свободного падения:

(86)

где t – время n полных колебаний маятника.

Таким образом, главная задача прямых измерений, с помощью которых определяется значение ускорения свободного падения, сводится к измерению приведенной длины физического маятника.