Элементы алгебры матриц

Лекция 1. Матрицы. Основные определения и правила действия.

Определение 1. Матрица это прямоугольная таблица элементов, имеющая строк и столбцов

(1)

Матрица (1) называется прямоугольной матрицей размером . Каждый элемент матрицы нумеруется двумя индексами. Первый индекс обозначает номер строки. Второй индекс обозначает номер столбца. Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор - строкой. Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектор – столбцом.

Если число строк равно числу столбцов , то такую матрицу называют квадратной матрицей размером .

Пример 1.Матрица размером имеет 2 строки и 3 столбца

Матрица размером (3 2) имеет 3 строки и 2 столбца .

Пример 2. Элемент расположен на пересечении второй строки и третьего столбца. Элемент расположен на пересечении третьей строки и второго столбца. Элемент расположен на пересечении -ой строки и -го столбца.

Определение 2.Матрицы обозначаются заглавными буквами.Например, матрица , матрица . Две - матрицы и равны, если соответствующие элементы матриц равны. То есть для всех . Между матрицами разных размеров равенства быть не может.

Элементы алгебры матриц.

Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется -матрица , элементами которой являются суммы соответствующих элементов матриц А и В. Таким образом С=А+В если для всех .

Пример 3. Вычислить сумму матриц

Решение.

;

Замечание. Матрицы разных размеров складывать нельзя.

Определение 3.Чтобы умножить число на матрицу нужно каждый элемент матрицы умножить на число .

Определение 4.Выражение , где -числа, а - матрицы называют линейной комбинацией матриц и .

Правило 1. Умножение вектор строки на вектор – столбец.

Чтобы перемножить вектор- строку на вектор-столбец с одинаковым числом элементов нужно перемножить первый элемент строки на первый элемент столбца, второй элемент строки на второй элемент столбца ит.д. и затем полученные произведения сложить.

Пример 4. Пусть заданы: вектор- строка и вектор- столбец требуется перемножить А на В.

РЕШЕНИЕ. = .

Правило 2. Умножение матрицы А размером ( ) на матрицу В размером ( ).

При умножении матрицы А размером на матрицу В размером получается матрица С размером . Причем элемент матрицы С получается перемножением

ой строки А матрицы и го столбца В матрицы.

Замечание.Правило 2 говорит нам о том, что если число столбцов первого сомножителя совпадает с числом строк второго сомножителя, то такие матрицы перемножать можно .

Пример 5. Перемножить матрицы А и В

РЕШЕНИЕ. Условия перемножения матриц выполнены. Начнём с вычисления элемента . Нужно первую строку А матрицы умножить на первый столбец В матрицы: = . Чтобы вычислить элемент нужно первую строку А матрицы умножить на второй столбец В матрицы: = .

Чтобы вычислить элемент нужно первую строку А матрицы умножить на третий столбец

матрицы В матрицы: = .

Остальные элементы С матрицы находим аналогично. Рекомендуем читателю самостоятельно их вычислить.

Ответ: .

Пример 6. Умножение столбца на строку. Перемножить .

Решение. Выписываем правило . В результате должна получиться матрица

С размером (сравните с результатом умножения строки на столбец ( см. пример 1.4))

Ответ: .

Пример 6. Умножение матрицы на столбец.Перемножить

Решение. Выписываем правило . Перемножать можно. В результате получается матрица-столбец размером . Выписываем ответ

=

Квадратные матрицы.

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов ,называется

квадратной матрицей. Матрицу размером называют матрицей 2-го порядка.

Матрицу размером называют матрицей 3-го порядка и так далее.