Определение устойчивости системы по логарифмическим частотным характеристикам

Запишем передаточную функцию разомкнутой системы в виде:

;

где общий коэффициент передачи системы К=К₁К₂К₃К₅= 475,2.

Найдем декремент затухания для звена по формуле:

.

Подставив численные значения, получим ξ=1,81.

Заметим, что , следовательно, звено апериодическое. Для апериодического звена второго порядка передаточную функцию можно преобразовать к виду:

;

где: ;

Т₆=0,078;

Т₇=0,863.

При этом передаточная функция всей системы принимает вид:

.

Кроме того , следовательно, можно строить асимптотическую ЛАЧХ не уточняя ее значение в области сопрягающей частоты.

Определим частоты сопряжения по формуле:

;

где - постоянная времени i-го звена.

Тогда, применив формулу для нахождения частот, получим:

;

подставив, численные значения, найдем:

Рассчитаем ординату для низкочастотной асимпто ты для звена согласно формуле до первой частоты сопряжения:

.

При построении ЛАЧХ звену будет соответствовать наклон , а звену наклон будет равен , звену будет соответствовать наклон , звену будет соответствовать наклон .

Рассчитаем параметры для построения ЛФЧХ разомкнутой системы, путем суммирования ЛФЧХ всех звеньев.

Для звена ЛФЧХ будет вычисляться по формуле:

.

Для звеньев :

.

Значения результирующей ЛФЧХ найдем как:

Подставив численные значения в вышеприведенные формулы, рассчитаем необходимые значения. Результаты вычислений оформим
в виде таблицы 3.

Результаты вычислений отобразим на графике логарифмических характеристик разомкнутой системы (рисунок 8).

Таблица 3 – Расчет ЛФЧХ разомкнутой системы

Рисунок 5 – Логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы.

Если разомкнутая система устойчива или нейтральна, для ее устойчивости в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы число переходов ЛФЧХ через линию –180° при положительных значениях ЛАЧХ было четным (в частном случае равным нулю).

В данном случае ЛФЧХ совершает один отрицательный переход при положительных значениях ЛАЧХ. Можно сделать вывод о том, что замкнутая система неустойчива.

Синтез линейной системы автоматического регулирования по логарифмическим частотным характеристикам

Построение ЛАЧХ исходной системы

Асимптотическую ЛАЧХ построим по передаточной функции исходной системы согласно методике, рассмотренной в п. 1.4 (рисунок 5).