Возведение в степень и извлечение корня

Возможность представления комплексного числа в показательной форме позволяет возводить комплексное число в степень – целую или дробную.

Рассмотрим функцию , задав число в показательной форме: . Таким образом, при возведении комплексного числа в степень n получим новое комплексное число с модулем, равным модулю исходного числа в n-й степени и аргументом, равным аргументу исходного числа, умноженному на n.

При извлечении корня степени n также используем показательную форму записи комплексного числа, но при этом отметим, что уравнение при любой правой части имеет ровно n комплексных корней.

Действительно, если вместо взять при любом целом , то при возведении в степень n мы получим тот же результат, так как при любом целом значении справедливо равенство . Поскольку и при любом целом m – это одно и то же комплексное число, имеет смысл брать . Поэтому при извлечении корня из комплексного числа представим его в виде , где . Тогда , , то есть мы получим n различных корней, имеющих одинаковый модуль, но разные аргументы. Два корня с соседними значениями отличаются друг от друга аргументами, разность между которыми . Следовательно, все корни из одного и того же комплексного числа находятся на окружности с центром в нуле радиуса и представляют собой вершины правильного n-угольника, вписанного в эту окружность.

Заметим, что обобщением того свойства, что уравнение имеет ровно n комплексных корней, является знаменитая основная теорема алгебры, в соответствии с которой любое уравнение n-й степени вида имеет ровно n корней в множестве комплексных чисел, правда в этом случае корни могут быть кратными (совпадать).

Показательная функция, тригонометрические функции

И обратные к ним

1. Показательная функция определена и однозначна во всей комплексной плоскости. Если комплексное число записать в показательной форме: , а комплексное число записать в алгебраической форме: , то согласно соотношению и формуле Эйлера получим .

2. Тригонометрические функции представляются с помощью показательной функции благодаря формуле Эйлера. Поскольку согласно формуле Эйлера , соответствующие функции комплексного переменного так и определяются: .

Обе эти функции определены и однозначны для всех точек комплексной плоскости.

Тангенс и котангенс комплексного переменного вводятся так же, как и для вещественного переменного: .

3. Функция, обратная к показательной, называется, как и в случае вещественного переменного, логарифмической функцией и обозначается . Она определена всюду в комплексной плоскости, кроме точки . Однако теперь это функция, имеющая бесконечное множество значений. Действительно, как уже было отмечено, для любого целого значения числа . Поэтому одному значению комплексного числа соответствует бесконечное множество значений , отличающихся на слагаемое . Представим число в показательной форме: , а число в алгебраической форме: . Тогда . То есть, , где логарифм положительной функции – известная со школьных времен однозначная функция вещественного переменного, . Для того, чтобы избавиться от неоднозначности логарифма, рассматривают функцию – однозначную ветвь логарифма, договариваясь, какие значения принимает мнимая часть функции. Заметим, что функцию комплексного переменного можно рассматривать только в такой области комплексной плоскости, где невозможно обойти вокруг точки , иначе функция перестанет быть однозначной.

Заметим, что теперь мы можем вычислять логарифм отрицательного числа. Например, .

4. Для того, чтобы вычислить обратную тригонометрическую функцию, следует решить соответствующее уравнение. Например, следует вычислить функцию, обратную к синусу . Запишем: . Теперь решим уравнение относительно . Имеем или . Это квадратное уравнение относительно , решим его: . Теперь . Очевидно, что раз в представлении арксинуса содержится бесконечнозначная функция , функция также бесконечнозначна.