Теорема о логарифмическом вычете

Лекция №2.

Теорема о логарифмическом вычете, принцип аргумента. Теорема Руше. Теорема Гурвица о пределе последовательностей аналитических функций. Определение вычета. Логарифмическая функция и логарифмический вычет. Кратность нуля и полюса для мероморфной функции.

Теоретические вопросы:

1) Сходимость последовательности аналитических функций;

2) Теорема Вейерштрасса;

3) Теорема Руше;

4) Теорема Гурвица;

Содержание лекции

Сходимость аналитических функций

Ранее было рассмотрено определение последовательности непрерывных функций. Для данной последовательности имеет место следующая теорема:

Теорема 2.1. Если функции непрерывны на множестве , то в случае равномерной сходимости их на к конечной функции ,последняя также непрерывна на .

Доказательство. Действительно, пусть ; для заданного существует такой номер , что для всех имеем . Далее, существует число такое, что для всех с имеем (возможно в силу непрерывности на ).

Отсюда для с имеем: ,что и означает непрерывность в точке .

Отсюда далее следует, что если функции непрерывны в области и равномерно сходятся внутри к конечной функции то непрерывна в .

В случае аналитических функций имеет место следующая фундаментальная теорема Вейерштрасса.

Теорема Вейерштрасса

Теорема 2.2.(Вейерштрасса). Если последовательность функций , регулярных в области , равномерно сходится внутри к конечной функции то регулярна в и последовательность производных равномерно сходится внутри к .

Доказательство. Возьмем какой-либо замкнутый круг , лежащий в , и концентрический с ним замкнутый круг большего радиуса, также лежащий в . Если есть граница , то по формулам Коши имеем для :

(1)

С другой стороны, так как непрерывна в , то функция

(2)

будет регулярной в . Из (1) и (2) имеем для :

(3)

и аналогично

(4)

Но на последовательность равномерно сходится и, следовательно, для заданного существует такое, что при на будет: .

Имея это в виду, из (3) и (4) получаем при

(5)

где и — радиусы кругов и .

Первое из этих неравенств показывает, что сходится в к функции , которая по условию должна совпадать с Следовательно, регулярна внутри . Но — любой круг, лежащий в . Поэтому регулярна в , если не содержит ∞.

Далее, второе из неравенств (5), если заменить в нем на , показывает, что последовательность равномерно сходится в к , так как, за счет выбора , правую часть можно сделать сколь угодно малой сразу для всех , то есть так как в , то в .

Чтобы доказать равномерную сходимость внутри , отметим, что каждое ограниченное замкнутое множество можно покрыть конечным числом кругов, целиком лежащих в вместе с границами.

Действительно, для каждой точки существует замкнутый круг с центром в , лежащий в . Совокупность этих кругов (для всех ) целиком покрывает . По теореме Гейне — Бореля существует конечное число кругов, также покрывающих .

Пусть эти круги будут .

Тогда, по доказанному, для существуют , то при и имеем . Если есть наибольшее из чисел , то при неравенство имеет место для точек всех кругов , , а следовательно, и для всех , т. е. последовательность равномерно сходится на .

Теорема о логарифмическом вычете

Теорема 2.3. (теорема о логарифмическом вычете). Пусть G – некая область комплексной плоскости. f – аналитическая функция в области G. - гладкий контур внутри G.

Пусть - количество нулей функции f внутри Г (считая их кратность), тогда получим равенство:

. (1)

Доказательство. Используем теорему Коши о вычетах, согласно которой:

. (2)

Пусть порядка . Разложим функцию:

.

Вычислим производную:

.

.

.

Следовательно , где - порядок нуля в точке а.

Отсюда следует, что:

.

При подсчете числа нулей регулярной функции в заданной области часто применяется теорема Руше.

Теорема Руше

Теорема 2.4. (теорема Руше). Пусть функции и регулярны в ограниченной односвязной области и на ее границе и пусть для всех имеет место неравенство . Тогда функции и имеют в области одинаковое число нулей.

Доказательство. Используя теорему о логарифмическом вычете, отметим, что – количество нулей функции .

Обозначим величину . Функцию можно представить в следующем виде:

, где

То есть , где – ноль функции , а – его порядок .

Пусть , где – полюс 1-го порядка. Значит, 1

Для .

Надо показать, что . Пусть . Тогда . Значит, .

Получаем:

Cдругой стороны, так как

и ,

то ..

Получается, что , то есть .

Относительно равномерно сходящихся последовательностей регулярных функций докажем еще следующую теорему, имеющую многочисленные применения.

Теорема Гурвица

Теорема 2.5. (Гурвица) Если последовательность функций , регулярных в области , равномерно сходится внутри к регулярной функции и если каждая из функций принимает данное значение не более кем в точках области , то и функция принимает значение не более кем в точках из .

Доказательство. Пусть сначала не содержит ∞. Допустим, что принимает значение в различных точках Опишем около точек , столь малые окружности , чтобы они лежали внедруг друга, содержали внутри себя лишь точки области и чтобы на них не было нулей функции .

Все это возможно выполнить, поскольку . При этих условиях существует такое, что на всех окружностях имеем .

Так как последовательность функций равномерно сходится на окружностях , то существует такое, что на , , имеем . Из

по теореме Руше заключаем, что функция внутри каждой окружности , наверное имеет нули, nтаккак их имеет функция .

Следовательно, принимает значение не менее, чем в точках области , что противоречит условию теоремы.

Если область содержит ∞, но отлична от полной плоскости, то, отобразив ее надлежащей дробно-линейной функцией на область, не содержащую ∞, можно применить к преобразованным функциям выше доказанное.

И случай, когда область является всей плоскостью , исключается, так как в этом случае всегда .

Следствие 2.2.1. Если последовательность однолистных функций сходится к функции , то является однолистной функцией, при чем .