Свойство эргодичности случайных процессов

Оценивание статистических характеристик

При практическом исследовании статистической структуры реальных полей и процессов приходится сталкиваться с целым рядом трудностей. Действительно, в результате эксперимента мы получаем выборку наблюдений f₁, f₂, ..., f_N, относящуюся к данной области пространства и к данному интервалу времени. Эта выборка может считаться реализацией случайных величии [f]. Следовательно, при вычислении статистических параметров по набору таких реализаций или по одной реализации мы получаем более или менее удовлетворительное приближение к истинному значению этого параметра. Это приближенное значение принято называть оценкой.

Оценки обладают рядом свойств, которые позволяют судить о их надежности. К числу наиболее важных свойств относятся смещение, дисперсия, среднеквадратическая ошибка и состоятельность. Остановимся на этих понятиях более подробно.

Смещение, Пусть f некоторый статистический параметр, a его оценка. Смещением оценки называется разность

(55)

Если L = 0, то плотность вероятности оценки имеет своим центром истинное значение f, и оценка называется истинной. Необходимо стараться выбирать оценки, которые обладают малым смещением.

Дисперсия. Дисперсией оценки называется величина

(56)

Она количественно характеризует рассеяние плотности вероятности величины относительно ее математического ожидания. Вообще говоря, дисперсия должна быть небольшой, однако требования малого смещения и малой дисперсии не всегда совместимы.

Среднеквадратическая ошибка. Среднеквадратической ошибкой называется выражение вида (1.6,3)

(57)

В некоторых случаях эта величина является более удобной для оценки, чем дисперсия. Иногда эта величина достигает минимума при нулевом смещении. Такие оценки называются несмещенным: оценками с минимальной дисперсией.

Состоятельность. Если при возрастании объема выборки смещение и дисперсия стремятся к нулю, то это означает, что выборочное распределение концентрируется вокруг f и точность оценку возрастает. Оценка, обладающая этим свойством, называется состоятельной оценкой.

Свойство эргодичности случайных процессов

Прежде чем перейти к описанию конкретных численных схем оценки статистических характеристик, остановимся на одном важном классе случайных процессов, для которого выполняются условия эргодичности.

Мы уже говорили о том, что оценивание статистических характеристик производится по множеству реализаций случайных процессов и полей. Естественно встает вопрос, какое количество реализаций необходимо для нахождения достаточно надежных оценок.

Одна из первых трудностей, с которой приходится считаться при разработке практических схем анализа случайных процессов— это проблема определения минимально необходимого числа реализаций для нахождения оценок математического ожидания и ковариационной функции. Наибольший интерес, естественно, вызывают случайные функции, вышеназванные характеристики которых можно получить с помощью только одной реализации.

Оказывается, что существует класс случайных функций, статистические характеристики которых могут быть определены по одной реализации. Возможность нахождения оценок по одной реализации обусловлена свойством эргодичности. Класс таких функций достаточно широк и охватывает многие реальные процессы природы и техники. В дальнейшем для наглядности и простоты изложения будем рассматривать только стационарные случайные процессы.

Стационарный случайный процесс Y(t)называется эргодическим по отношению к своему математическому ожиданию, если

(58)

Интегрирование в (58) понимается в среднеквадратическом смысле.

Стационарный случайный процесс называется эргодическим по отношению к ковариационной функции, если

(59)

Для того чтобы условия (58)-(59) выполнялись для большинства геофизических процессов (гауссовских), достаточным является выполнение равенства

. (60)

Условие (60) служит обоснованием эргодичности, а следовательно, возможности оценок C и R_y(τ)с помощью одной реализации, заданной на конечном, но достаточно большом интервале времени Т. Будем предполагать также, что убывание ковариационной функции в (60) происходит настолько быстро, что

. (61)