Ковариационные, корреляционные и структурные функции метеорологических полей

Важнейшим понятием теории случайных функций является понятие случайного поля. Случайным полем называется случайная функция нескольких аргументов. В метеорологии, например, случайным, полем называют совокупность значений метеорологической величины, определенной для различных пространственных координат в различные моменты времени. Значения случайного поля, определенные в фиксированные моменты времени, называются его реализацией. Примером реализации случайного поля может служить, в частности, совокупность карт барической топографии, отнесенная к конкретному моменту времени. Случайные полябывают скалярными и векторными.

При статистическом подходе к анализу метеорологических процессов и полей отказываются от раздельного рассмотрения их индивидуальных свойств. Рассматриваются особенности, характерные для всего набора реализации. Эти общие особенности принято называть статистической структурой случайного процесса или поля. Статистическая структура — это характерные свойства, которые проявляются в случайных полях или процессах в среднем. При этом предполагается, что статистическое осреднение производится по всему набору реализации.

Полное статистическое описание случайных процессов и полей требует задания многомерных функций распределения. При решении очень многих задач эти функции неизвестны, поэтому обычно используют более простые характеристики статистической структуры. Наиболее употребительными из них являются ковариационные, корреляционные, структурные и спектральные функции.

Одной из важнейших характеристик статистической связи метеорологической величины f в двух точках пространства , является ковариационная функция , котораяопределятся выражением

, (4)

где , - радиус-векторы точек в пространственной системе координат.

Изменчивость f в точке от реализации к реализации характеризуется ее дисперсией

, (5)

представляющей собой средний квадрат отклонения функции f от ее среднего значения в точке (это отклонение называют иногда аномалией и обозначают ).

Дисперсии и ковариационные функции связаны между собой со­отношениями

.

Наряду с ковариационной функцией случайного поля рассматривают также корреляционные или нормированные ковариационные функции.

Корреляционная функция, также как и ковариационная, является мерой пространственной (или временной) связи элемента f и определяется выражением

. (6)

Эта величина для каждой фиксированной пары точек и численно равна значению коэффициента корреляции величины f. Числитель формулы (6) есть ковариационная функция, таким образом, ковариационная и корреляционная функции связаны одна с другой

. (7)

В тех случаях, когда рассматриваются поля нескольких величин, связь между ними может быть оценена при помощи взаимных ковариационных и корреляционных функций. Например, если нас интересуют поля случайных величин , то взаимная ковариационная функция имеет вид

. (8)

Выражение для взаимной корреляционной функции запишется в следующем виде

(9)

Ковариационную (корреляционную) функцию, определенную только для величины f, согласно формулам (4), (6) называют также автоковариационной (автокорреляционной).

Для характеристики пространственной и временной изменчивости метеорологических элементов используют структурную функцию , описывающую средний квадрат разности величин в различных пунктах или в различные моменты времени

. (10)

Такое равенство показывает, что структурная функция является неотрицательной функцией аргументов.

Структурная функция связана с ковариационной и корреляционной функцией следующим соотношением

(11)

Полученное уравнение выведено в предположении, что аномалии функций не коррелируют с математическим ожиданием (средним), соответствующие слагаемые отброшены т.е.

, (12)

. (13)