Понятие о геометрических характеристиках плоских фигур

Тема 9. Чистый изгиб. Определение напряжений. Напряженное состояние. Расчеты на прочность

Понятие о геометрических характеристиках плоских фигур

При расчете изогнутых или закрученных элементов конструкций на прочность необходимо знать не только площади сечений, но и некоторые другие геометрические характеристики. Так, например, при кручении прочность и жесткость бруса зависит от полярного момента инерции его сечения , как это было показано ранее.

Чтобы подробнее изучить эти характеристики, рассмотрим для произвольной плоской фигуры, представляющей сечение стержня (рис. 9.1), следующие интегралы по площади:

Рис. 9.1. К определению геометрических характеристик плоской фигуры

(9.1)

,(9.2)

. (9.3)

Формулы (9.1) определяют статические моменты сечения относительно осей Оx и Оy, а формулы (9.2) – моменты инерции сечения относительно осей Оx и Оy (осевые моменты инерции) J_x, и J_y, а также центробежный момент инерции J_xy. Размерность статических моментов - м³, моментов инерции – м⁴. Очевидно, что осевые и полярный (9.3) моменты инерции всегда положительны.

В отличие от площади плоской фигуры, которая всегда постоянна, статические моменты и моменты инерции меняются при преобразованиях (параллельном переносе или повороте) системы координат, относительно которой они определяются.

При плоскопараллельном переносе системы координат (рис.9.2) по отношению к осям и соответственно на расстояния a и b, очевидно, имеем

.

Статические моменты и будут равны

или

. (9.4)

Рис. 9.2. Параллельный перенос системы координат

Моменты инерции фигуры при параллельном переносе системы координат получим аналогично, вычисляя интегралы (9.2):

(9.5)

Значения параметров и могут быть любыми: положительными, отрицательными или равными нулю. Формулы (9.4) показывают, что, всегда можно подобрать и так, чтобы статические моменты в новых осях обратились в нули, т.е.

.

Оси, относительно которых статические моменты равны нулю, называются центральными. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения.

Кратчайшие расстояния до них от исходных осей (координаты центра тяжести фигуры) тогда будут:

. (9.6)

Для вычисления центра тяжести сложной фигуры ее разбивают на простые (рис. 9.3), для каждой из которых известна площадь и положение центра тяжести ( ) в выбранной системе координат.

Рис. 9.3 Центр тяжести сложной фигуры

Статические моменты всей фигуры относительно осей и согласно (9.6) равны

Тогда координаты центра тяжести сложной фигуры

(9.7)

Если известны моменты инерции фигуры относительно центральных осей и , то из формул (9.5), учитывая, что статические моменты относительно центральных осей равны нулю, получаем выражения

, (9.8)

из которых следует, что моменты инерции относительно центральных осей будут наименьшими в семействе параллельных осей.

При повороте системы координат моменты инерции фигуры также изменяются. Если оси координат Оx₁ и Оy₁ повернуты по отношению к осям Оx и Оy на угол (рис. 9.4), то координаты площадки dF в повернутой системе координат

.

Рис. 9.4. Преобразования координат при повороте осей

Подставляя эти выражения в (9.2) и вычисляя интегралы, имеем:

(9.9)

Используя известные формулы тригонометрии,

этим выражениям можно придать вид

(9.9')

Из последней формулы системы (9.9'), легко видеть, что поворотом осей координат на угол, определяемый соотношением

(9.10)

можно добиться выполнения условия Оси, для которых обращается в ноль центробежный момент инерции, называются главными осями плоской фигуры. Соответствующие осевые моменты инерции называются главными моментами инерции фигуры. Можно доказать, что один из главных моментов инерции является минимальным, а другой – максимальным среди всех моментов инерции относительно осей, проходящих через данную точку. Главные моменты инерции легко вычислить по формулам (9.9) или (9.9'), определив предварительно угол поворота из соотношения (9.10).

Более распространенная формула для главных моментов инерции получается после исключения угла a из системы (9.9') с учетом справедливого для главных осей условия После преобразований она записывается следующим образом:

(9.11)