Подключение RL-цепи к источнику переменной ЭДС

Лекция 11.11.13 г.

К цепи, состоящей из активного сопротивления и индуктивности (рис 2.1, при условии- Ro равно бесконечности), вместо источника постоянной ЭДС E подключается источник переменной ЭДС

, (2.13)

где - амплитуда, - угловая частота, - начальная фаза. Начальный ток через индуктивность равен нулю.

Изменение тока во времени определяется дифференциальным уравнением [6]:

. (2.14)

Представим полный ток суммой свободной и принужденной составляющих

. (2.15)

Принужденная составляющая в уравнении (2.15) соответствует установившемуся току в цепи по завершении переходного процесса:

, (2.16)

где - сдвиг фазы тока по отношению к фазе напряжения находится по формуле:

.

Так как в установившемся режиме в цепи с индуктивным характером нагрузки ток отстает от напряжения, угол в уравнении (2.16) следует записать со знаком «минус».

Используя принцип суперпозиции, другую составляющую тока в (2.15), согласно (2.14), определим из уравнения

.

Его характеристическое уравнение

,

и поэтому свободная составляющая будет

, (2.17)

где К – постоянная интегрирования, которую можно найти из начальных условий.

Подставляя (2.16) и (2.17) в уравнение (2.15), мы получим

, (2.18)

и, поскольку ток в момент t=0 также равен нулю, будем иметь

.

Введем обозначение разности углов

.

Тогда уравнение (2.15) можно записать в следующей форме:

, (2.19)

где .

Из (2.19) следует, что наиболее возможный свободный ток возникает при . Ток в цепи в переходном режиме в этом случае равен

. (2.20)

Заметим, что максимальное (по модулю) значение тока в переходном режиме может значительно превосходить амплитуду . Если f=50 Гц , то наибольшие (по модулю) значения, согласно (2.20), будут наблюдаться при t=0.01 с. Их зависимость от постоянной времени цепи Т в относительных единицах (по отношению к ) представлена в таблице 2.1. (вторая строка, ).

Таблица 2.1.

 

	0.2	0.18	0.16	0.14	0.12	0.10	0.08	0.06	0.04	0.02
	1.9512	1.9460	1.9394	1.9311	1.9200	1.9048	1.8825	1.8465	1.7788	1.6065

 

Следовательно, если с, то максимальное (по модулю) значение переходного тока превышает амплитуду установившегося переменного тока в 1.95 раза, а при с – более, чем в 1.6 раза.

Если же постоянная времени цепи мала по сравнению с периодом установившегося переменного тока, то свободная составляющая в (2.20) быстро затухает, и значительного увеличения переходного тока не получается.

Остановимся еще на одном важном моменте. Дело в том, что подключение RL-цепи к источнику синусоидальной ЭДС, как правило, выполняется в произвольный момент времени, т. е. при различных значениях начальной фазы .

Если равен (- ) или ( ), то свободная составляющая тока (см. формулу 2.19) равна нулю, и в цепи установится принужденная составляющая. По мере приближения к нулю, свободная составляющая возрастает, и при переходный режим будет наиболее неблагоприятным.

Для получения графиков токов в переходном режиме предлагается файл “sah361.m”, составленный в среде MatLAB.

% File 'sah361.m'.

% RL- circuit with AC voltage source.

R=0.628;L=0.1;w=314;E=230;

ksi=atan(w*L/R);

%===================================

fi=15;

%===================================

fi1=(pi/180)*fi;

t=0:0.0002:0.12;

e=E*cos(w*t+fi1);

I=E/(sqrt(R^2+(w*L)^2));

bet=fi1-ksi;

i1=I*cos(w*t+bet);

i2=I*(exp(-R/L*t)).*cos(bet);

i=i1-i2;

plot(t,i1,t,-i2,t,i,t,e*0.05),grid

xlabel('Time, sec'),

ylabel('0.05*e(t), i1(t), i2(t), i(t)=i1(t)-i2(t)')

Расчеты выполняются для RL-цепи со значениями R=0.628 Ом, L=0.1 Гн, f=50 Гц, E=230 В. Переходный процесс рассчитывается во временном диапазоне с. Шаг дискретности 0.0002 с. Ток в цепи, вычисляемый по формуле (2.19), может быть определен для различных углов . Значения угла , помещенного в программе между двумя штрих - пунктирными линиями, задаются в градусах. По завершении вычислений производятся графические построения принужденной и свободной составляющих токов, а также полного тока в переходном режиме..

Рис.2.9. Переходный процесс в RL- цепи:

e(t) - ЭДС источника питания, i1(t) и i2(t) – принужденная и свободная составляющие тока, i(t) - переходный ток, =90 град

 

Рис.2.10. Переходный процесс в RL- цепи:

e(t)- ЭДС источника, i1(t) и i2(t)- принужденный и свободный токи, i(t)- полный ток цепи,

 

 

На рис. 2.9 показаны переходный ток и его составляющие при подключении цепи к источнику ЭДС с начальной фазой , а на рис. 2.10 – при подключении цепи к источнику с начальной фазой . Видно, что во втором случае свободный ток значительно уменьшается, и в переходном режиме полный ток несущественно отличается от принужденной его составляющей.

Файл

% sah361.m

% File 'sah361.m'.

% Подключение RL- цепи к источнику переменной ЭДС.

R=0.628;L=0.1;w=314;E=230;

ksi=atan(w*L/R);

Ksi_grad=ksi*180/pi

%===================================

fi=-1.1458;

%===================================

fi1=(pi/180)*fi;

t=0:0.0002:0.12;

e=E*cos(w*t+fi1);

I=E/(sqrt(R^2+(w*L)^2));

bet=fi1-ksi;

Bet_grad=bet*180/pi

i1=I*cos(w*t+bet);

i2=I*(exp(-R/L*t)).*cos(bet);

i=i1-i2;

plot(t,i1,t,-i2,t,i,t,e*0.05),grid

xlabel('Время, с.'),

ylabel('0.05*e(t), i1(t), i2(t), i(t)=i1(t)-i2(t)')

 

>> sah361

Ksi_grad =

88.8542

Bet_grad =

-90.0000