Задание для студентов

2015-12-04

895

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 6.

Тема: «Решение дифференциальных уравнений различных видов».

Теоретические сведения.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

1. Выражают производную функции через дифференциалы и .

2. Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциал за скобку.

3. Разделяют переменные.

4. Интегрируют обе части равенства и находят общее решение.

5. Если заданы начальные условия, то находят частное решение.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка.

1. Определить вид дифференциального уравнения первого порядка:

А) Б) , где .

2. В зависимости от вида уравнения выбрать алгоритм:

А.1. Используя подстановку , находят и подставляют эти выражения в уравнение:

Данное уравнение примет вид: .

А.2. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы вынести за скобку: . Из скобки, приравняв её к нулю, найти функцию .

А.3. Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят функцию .

А.4. Записывают общее решение, подставив выражения для найденных функций и в равенство :

А.5. Если требуется найти частное решение, то определяют С из начальных условий и подставляют в общее решение.

Б.1. Определить значения и , и записать общее решение в виде: .

Алгоритм решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами представим в виде таблицы.

Дифференциальное уравнение
Характеристическое уравнение
Дискриминант
Корни характеристического уравнения
Множества решений

Задание для студентов.

Выбор параметров т и п.

Для того, чтобы получить свои личные числовые данные, необходимо взять две последние цифры зачетной книжки (студенческого билета) (А – предпоследняя цифра, В – последняя цифра) и выбрать из таблицы 1 параметр m, а из таблицы 2 выбрать параметр n. Эти выбранные два числа m и n нужно подставить в условия всех задач контрольной работы.

Таблица 1 (выбор параметра m)

А

т

Таблица 2 (выбор параметраn)

В

п

1. Найти общее решение уравнений:

2. Составить уравнение: Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом, равным m, величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составила n миллионов рублей.

3. Решить задачу Коши:

4. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

а) ;

б) ;

в) .

Примеры решения задач:

Пусть m=6,n=7

1. Найти общее решение уравнений:

а) ; ; ; ;

; - общий интеграл уравнения.

б)

Это уравнение Бернулли.

Положим . Подставляя в исходное уравнение , , сгруппируем члены, содержащие в первой степени.

Для отыскания имеем уравнение . Разделяем переменные и интегрируем:

; ; ; , .

Следовательно,

2.Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом, равным m, величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составила n миллионов рублей.

Решение: m =4 и n=3

Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом, равным 4, величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составила 3 миллионов рублей.

По своему смыслу производная это скорость. Пусть банковский вклад – функция y(t).

Тогда согласно условию задачи получим дифференциальное уравнение:

,

,

Значение величины С найдем из условий: y(0)=3.

, .

Итак, закон изменения величины вклада со временем .

3.Решить задачу Коши:

а);

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид:

,

,

или

, .

Значит, общее решение уравнения имеет вид:

Частное решение уравнения найдем из условий:

.

Получаем систему:

Решив систему, получим .

Итак, частное решение уравнения: .

б) ,

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Решение данного уравнения: .

Значит общее решение однородного уравнения: .

Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

.

Итак,

,

Таким образом, имеем систему: , т.е. .

в) ,

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид:

. Решение характеристического уравнения: .

Тогда общее решение однородного уравнения: .

Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

.

Итак,

Таким образом, имеем систему: , т.е. .

Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

.

Найдем , используя начальные условия .

или .

Отсюда , т.е.

4.Решить систему линейных уравнений с начальными условиями :

.

Решение:

Продифференцируем по t первое ; исключая из полученного уравнения и , имеем , ,

,

.

Характеристическое уравнение имеет корни: . Следовательно, общее решение для х запишется в виде: .

Общее решение для у находим из первого уравнения:

Итак, , .

Воспользуемся начальными условиями для нахождения произвольных постоянных: .

,

Отсюда: , . Таким образом, искомое решение имеет вид: , .