Охлаждение (нагревание) неограниченной пластины

Дана пластина толщиной 2 . Коэффициент теплоотдачи для всей поверхности пластины постоянен. Изменение температуры происходит только в одном направлении координаты х, т.е. , а следовательно, задача является одномерной. Начальное распределение температуры задано некоторой функцией t(x,0)=f(x). Охлаждение происходит в среде с постоянной температурой t_ж=const. Отсчет избыточной температуры пластины для любого момента времени будем вести от температуры окружающей среды .

Дифференциальное уравнение теплопроводности

.

Начальные условия:

при .

При заданных условиях охлаждения задача становится симметричной и начало координат удобно поместить на оси пластины.

Тогда граничные условия запишутся:

на оси пластины при х=0 ;

на поверхности пластины при х= .

После решения дифференциального уравнения получаем, что безразмерная температура является функцией только двух безразмерных параметров:

для оси пластины ;

для поверхности пластины ,

где - число Фурье, представляющее собой безразмерное время,

- число (критерий) Био.

Критерий Био представляет собой отношение внутреннего термического сопротивления процесса теплопроводности к внешнему термическому сопротивлению процесса теплоотдачи.

Число Био называют критерием массивности. В зависимости от числа Ві тела подразделяются на термически тонкие (Bi<0,1) и термически массивные (Bi>100). Характер распределения температуры в теле можно определить в зависимости от численного значения числа Био. Рассмотрим три случая.

1. Bi→∞ (практически Bi>100). Если Bi→∞, то температура поверхности пластины сразу становится равной температуре окружающей среды, в которую помещена пластина. Точка пересечения касательных к температурным кривым находится на поверхности пластины.

Из следует: Bi→∞ при заданных физических параметрах и толщине пластины тогда, когда →∞, т.е. когда имеет место очень большая интенсивность отвода теплоты от поверхности. В этих случаях процесс охлаждения определяется физическими свойствами и размерами тела (внутренняя задача).

2. Bi→0 (практически Bi<0,1). Из видно, что Bi→0 при малых размерах толщины пластины, большом значении коэффициента теплопроводности и малых значениях коэффициента теплоотдачи .

При малых Bi температура на поверхности пластины незначительно отличается от температуры его оси, т.е. температура по толщине пластины распределяется равномерно.

В этом случае процесс нагрева и охлаждения тела определяется интенсивностью теплоотдачи на поверхности пластины. Т.е. пути повышения интенсивности охлаждения следует искать во внешних условиях (внешняя задача).

3. Число Ві находится в пределах <100. Температурные кривые для любого момента времени будут выглядеть, как показано на рис. В этом случае интенсивность процесса охлаждения (нагревания) определяется как внутренним, так и внешним термическим сопротивлением.