Пример применения численного интегрирования

Вычислим, например, интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001.

Чтобы выбрать необходимое для получения заданной точности число 2n, найдем f⁽⁴⁾(x). Последовательно дифференцируя функцию f(x)= , получаем

f⁽⁴⁾(x)=4 (4х⁴-12х²+3)

Так как на отрезке [0, 1] £1, ½4х⁴-12х²+3½£5, то . Следовательно, можно взять М=20. Используя формулу оценки погрешности, имеем 20/2880n⁴<1/1000( ), откуда n⁴ >1000/144. Для того чтобы выполнялось это неравенство, достаточно взять n=2, т.е. 2n=4.

Разобьем теперь отрезок [0, 1] на четыре равные части точками х₀=0, х₁=1/4, х₂=1/2, х₃=3/4, х₄=1 и вычислим приближенно значения функции f(x)= в этих точках у₀=1,0000, у₁=0,9394, у₂=0,7788, у₃=0,5698, у₄=0,3679. Применяя формулу Симпсона, получаем

Таким образом, с точностью до 0,001. Итак, разбив отрезок [0, 1] всего на четыре равные части и заменив рассматриваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы Симпсона, мы вычислили данный интеграл с необходимой точностью.

 

	Название метода	Формула	Порядок метода	Априорная погрешность вычислений	Апостериорная погрешность вычислений
	Левых прямоугольников (рис.1)
	Правых прямоугольников (рис.2)
	Средних прямоугольников
	Трапеций (рис.3)
	Симпсона (рис.4)

Программная реализация в MatLab.

Вычисление определенного интеграла с помощью встроенной функции.

>> syms x

>> I = double(int((x^2-6.5)/(x^3+sin(7.8*x)),3.6,5.4))

>>

I =

0.26649340577279

 

Программный блок, реализующий приближенное вычисление определенного интеграла.

function res = f(x);

res = (x^2+1.8)/(x^3+7.9);

end

----------------------

function res = Integral(str, a , b, n);

%str - methods name, a,b - distance, n - number of points

h = (b-a)/n;

Sum = 0;

switch (str)

case 'Simpson'

q1=0; q2=0;

for i = 1:n-1

if (mod(i,2)==1)

q1 = q1+f(a + i*h);

else q2 = q2+f(a + i*h);

end;

end;

Sum =(h/3)*( f(a) + 4*q1 + 2*q2 + f(b));

 

case 'Trapezium'

for i = 1:n-1

Sum = Sum + f(a + i*h);

end;

Sum = (h/2)*( f(a) + 2*Sum + f(b));

 

case 'LeftRectangles'

for i=1:n-1

Sum = Sum + h*f(a + i*h);

end;

Sum = h*f(a) + Sum;

 

case 'RightRectangles'

for i=1:n-1

Sum = Sum + h*f(a + i*h);

end;

Sum = h*f(b) + Sum;

 

case 'MediumRectangles'

for i=1:n

Sum = Sum + h*f(((a + (i-1)*h)+(a + i*h))/2);

end;

 

otherwise

error('This is impossible value')

end

res = Sum;

return

 

Программный блок вычисления апостериорных погрешностей вычислений.

 

function res = Priori_Error(str,a,b,n);

 

switch (str)

case 'Simpson'

R = abs(Integral(str,a,b,n)-Integral(str,a,b,0.5*n))/15;

 

case 'Trapezium'

R = abs(Integral(str,a,b,n)-Integral(str,a,b,0.5*n))/3;

 

case 'LeftRectangles'

R = abs(Integral(str,a,b,n)-Integral(str,a,b,0.5*n));

 

case 'RightRectangles'

R = abs(Integral(str,a,b,n)-Integral(str,a,b,0.5*n));

 

case 'MediumRectangles'

R = abs(Integral(str,a,b,n)-Integral(str,a,b,0.5*n))/3;

 

otherwise

error('This is impossible value')

end;

res = R;

return

 

Результаты вычислений

>> format long

>> IS = Integral('Simpson',3.6,5.4,12)

IS =

0.26649801994399

>> IT = Integral('Trapezium',3.6,5.4,12)

IT =

0.26635817701576

>> ILR = Integral('LeftRectangles',3.6,5.4,12)

ILR =

0.26584089261870

>> IRR = Integral('RightRectangles',3.6,5.4,12)

IRR =

0.26687546141281

>> IMR = Integral('MediumRectangles',3.6,5.4,12)

IMR =

0.26656137337914

>> Priori_ErrorIS = Priori_Error('Simpson',3.6,5.4,12)

Priori_ErrorIS =

1.040388407134533e-005

>> Priori_ErrorIT = Priori_Error('Trapezium',3.6,5.4,12)

Priori_ErrorIT =

1.398429282359707e-004

>> Priori_ErrorILR = Priori_Error('LeftRectangles',3.6,5.4,12)

Priori_ErrorILR =

9.368131817630854e-004

>> Priori_ErrorIRR = Priori_Error('RightRectangles',3.6,5.4,12)

Priori_ErrorIRR =

9.775561234709462e-005

>> Priori_ErrorIMR = Priori_Error('MediumRectangles',3.6,5.4,12)

Priori_ErrorIMR =

7.211080710719149e-005

 

 

Приближенное вычисление определенных интегралов"

 

Исходные данные:

 

;

Промежуток интегрирования [a,b] :

1. Табулирование функции на заданном промежутке [a,b].

 

 

 

 

2. Вычисление определенного интеграла с помощью стандартной функции.

 

3. Программный блок, реализующий вычисление приближенного значения определенного интеграла. 1. Формула Симпсона. 2. Формула трапеций. 3. Формула средних прямоугольников. 4. Формула правых прямоугольников. 5. Формула левых прямоугольников.

 

Результаты вычислений для шага h и 2h

4. Вычисление апостериорной погрешности приближенного вычисления определенного интеграла по формулам 1-5. Программный блок , где -g(u) - исходная функция; -x - вектор узловых точек; - - порядок метода; вычисляет значения -ой производной функции g(u) в узловых точках.

 

 

5. Априорные погрешности приближенного вычисления определенного интеграла по формулам 1-5. - g(x) - подынтегральная функция; - x - узловые точки; - k - порядок метода N;

 

Варианты заданий

Номер варианта	Интеграл	Номер варианта	Интеграл