Метод Тейлора второго порядка

При из формулы (6) получаем

где

Метод Рунге-Кутта.

Метод Рунге-Кутта имеет тот же порядок точности, что и метод Тейлора, но исключает необходимость вычисления значений частных производных от правой части дифференциального уравнения . Основная идея метода состоит в замене функции в формуле (6) другой функцией , не требующей вычисления частных производных от и удовлетворяющей условию

где - константа, не зависящая от . Таким образом, алгоритм метода Рунге-Кутта имеет вид:

где удовлетворяет условию (9). Очевидно, метод (10) имеет ту же алгоритмическую ошибку, что и метод Тейлора. Алгоритм (10) принято называть методом Рунге-Кутта порядка .

Функцию разыскивают в виде:

где

В формулах (11) коэффициенты и находятся из условия (9).

Метод Рунге-Кутта первого порядка.

При получаем из (11)

Сравнивая с , немедленно получаем из условия (9), что . Таким образом метод Рунге-Кутта первого порядка совпадает с явным методом Эйлера:

Метод Рунге-Кутта второго порядка.

При получаем из (11)

Разлагая во втором слагаемом в (12) по формуле Тейлора в точке получаем

Подставляя (13) в (12), имеем

Сравнивая и (14), получаем из условия (9) нелинейную систему уравнений для определения коэффициентов :

Отсюда следует, что для различных существует целое семейство методов Рунге-Кутта второго порядка с коэффициентами и

:

Приведем примеры алгоритмов метода Рунге-Кутта второго порядка.

Метод Хьюна (модифицированный метод трапеций).

В этом случае , Из (15) получаем алгоритм метода Хьюна

Модифицированный метод Эйлера.

В этом случае , Из (15) получаем алгоритм модифицированного метода Эйлера

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

Наиболее часто в вычислительной практике используется метод Рунге-Кутта четвертого порядка, алгоритм которого определяется формулами

где

Отметим, что если правая часть дифференциального уравнения не зависит от , то формула (18) совпадает с квадратурной формулой Симпсона. (Решение задачи Коши равносильно вычислению интеграла ).

Замечание.Метод (18) часто называют просто «методом Рунге-Кутта» без всяких указаний на порядок. Локальная алгоритмическая ошибка этого метода не превосходит , где - константа, не зависящая от . Однако оценить не просто. Это существенный недостаток метода Рунге-Кутта. Грубое оценочное правило выбора шага предложено Коллатцом: если для некоторой точки величина больше нескольких сотых, то шаг уменьшают.