Основное свойство колец без делителей нуля

Пусть К – кольцо без делителей нуля и a≠0, тогда из равенства ab=ac следует, что b=c.

Доказательство.

Из равенстваab=ac следует, что a(b—c)=0. Так как элемент а ненулевой, то b–c=0, т.е. b=c.

□

Обратим внимание, что данное свойство означает логическое сокращение, а не умножение на элемент, обратный к элементу «а». Кстати, такого обратного может и не существовать.

Деление с остатком.

Помните фильм про Буратино и знаменитый диалог Лисы Алисы и Кота Базилио: “Пять на два не делится! Вот тебе, Базилио, один золотой, а вторую неделящуюся половину я забираю себе!” Кот ничего не понял, но почувствовал, что его обманывают.

Что означает «делится», мы выше видели, это когда есть дополнительный множитель и он восстанавливает равенство. А если множителя нет. Тут мы вступаем на зыбкую почву приближений.

При делении целых чисел и многочленов разные числа и многочлены можно легко сравнивать. У чисел сравнение ведется путем сравнения их модулей, а у многочленов – сравнением их степеней. Поэтому при неполном делении стремятся, что бы степень остатка была меньше, чем степень делителя.

Формально понятие степени можно ввести так.

Определение. Пусть К – кольцо без делителей нуля. Степенью элементов кольца К называется отображение ненулевых элементов кольца во множество натуральных чисел такое, что выполняется условие монотонности: Другими словами, степень произведения не меньше степени сомножителя. (Обратим внимание, что для нуля степень не определена!)

Если определено понятие степени элемента, то можно говорить о делении с остатком.

Определение Кольцо К называется кольцом с алгоритмом деления с остатком или евклидовым, если или r=0.

Евклидовых колец не очень много. Нас же будут в основном интересовать два из них.

Пример 1.

Кольцо целых чисел Z является евклидовым, при этом степенью целого числа является его модуль. Алгоритм деления с остатком в кольце целых чисел изучался в школе.

Пример 2.

Пусть P – поле, тогда кольцо многочленов P[x] является евклидовым, при этом степенью является обычная степень многочлена. Алгоритм деления с остатком – обычное деление многочленов уголком.

Сейчас мы докажем самую полезную теорему о евклидовых кольцах, которая применяется чуть не всей классической алгебре и криптографии.

Но прежде введем понятие наибольшего общего делителя (НОД) и двойственное ему наименьше обще кранное (НОК).

Определение. Элемент d=НОД(a,b) называется наибольшим общим делителем элементов a и b, если выполняются два условия:

1) d\a, d\b – т.е. d - общий делить,

2) Если s\a, s\b , то s\d – наибольший делитель, в том смысле, что он делится на все остальные делители.

Понятие наименьшего общего кратного НОК не так важно как НОД, но его введение поучительно в силу свой двойственности к НОД. «Наибольший» заменяется на «наименьший», «делится» на «делит».

Определение. Элемент m=НОК(a,b) называется наименьшим общим кратным элементов a и b, если выполняются два условия:

1) m: a\m, b\m - общий кратный,

2) Если a\n, b\n , то m\n – наименьшее кратное, в том смысле, что оно делит все остальные кратные.

Фундаментальный факт состоит в том, что в евклидовых кольцах, а значит в кольце целых чисел и кольце многочленов над полем, – НОД существует и его можно выразить через исходные элементы.