Задания для самостоятельной работы. 1. В аффинной системе координат задана прямая уравнением

1. В аффинной системе координат задана прямая уравнением . Какая фигура определяется условием: а) ; б) ?

2. Верно ли утверждение, что прямая пересекает отрезок , где , тогда и только тогда, когда и почему?

3. Даны треугольник с вершинами и прямая . Существует ли на прямой точки, являющиеся внутренними точками треугольника ?

4. Существуют ли значения коэффициентов А и В, при которых прямые, заданные уравнениями и , параллельны?

5. Какой вид имеет уравнение прямой, параллельной прямой и проходящей через: а) начало координат; б) точку ?

6. Дано уравнение пучка прямых . Докажите, что прямые и принадлежат этому пучку.

Лекция 10

Прямая в прямоугольной декартовой

Системе координат

Уравнение прямой, заданной точкой и

Вектором нормали

Ненулевой вектор называется перпендикулярным данной прямой, если он ортогонален любому направляющему вектору этой прямой.

Вектор, перпендикулярный прямой, называется вектором нормали этой прямой или ее нормальным вектором. Для каждой прямой на плоскости существует бесконечное множество векторов нормали. Любые два из них коллинеарны (рис. 60).

Вектор нормали прямой будем обозначать через .

Лемма 1. Если прямая в прямоугольной системе координат задана уравнением , то вектор перпендикулярен прямой .

□ Возьмем направляющий вектор прямой и найдем скалярное произведение . ■

Следствие. Уравнение прямой , заданной в прямоугольной декартовой системе координат точкой и вектором нормали , имеет вид .

□ Если , то (рис. 61) Þ .

Если , то вектор не ортогонален вектору , т.е. .

Итак, доказано, что точка тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

. ■ (19)

Уравнение (19) называется уравнением прямой, заданной точкой и вектором нормали.

Замечание. Если в прямоугольной декартовой системе координат прямая задана общим уравнением , то геометрический смысл коэффициентов при х и у состоит в следующем: А и В есть координаты вектора нормали прямой , т.е. .

Задания для самостоятельной работы

1. Найдите координаты вектора нормали оси ; оси прямоугольной декартовой системы координат .

2. Найдите координаты вектора нормали прямой: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Можно ли записать уравнение прямой, заданной точкой и вектором нормали, в аффинной системе координат и почему?

4. В прямоугольной декартовой системе координат прямая задана уравнением . Найдите уравнение прямой , проходящей через точку и перпендикулярной прямой . Решите задачу двумя способами.

Основные метрические задачи,