Электрическое поле заряженной сферы

Теорема Гаусса.

Потоком вектора напряженности через замкнутый контур площадью S называется произведение проекции вектора напряженности на нормаль к контуру на площадь контура: .

Поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную: .

Напряженность поля точечного заряда.

Для определения напряженности проведем сферическую поверхность S радиусом r с центром совпадающим с зарядом и воспользуемся теоремой Гаусса. Так как внутри указанной области находится только один заряд q, то согласно указанной теореме получим равенство: (1), где E_n - нормальная составляющая напряженности электрического поля. Из соображений симметрии нормальная составляющая должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферической поверхности, поэтому E=E_n=const. Поэтому ее можно вынести за знак суммы. Тогда равенство (1) примет вид , что и было получено из закона Кулона и определения напряженности электрического поля.

Электрическое поле заряженной сферы

Если сфера проводящая, то весь заряд находится на поверхности. Рассмотрим две области I – внутри сферы радиуса R с зарядом q и вне сферы область II.

Для определения напряженности в области I проведем сферическую поверхность S₁ радиусом r₁ (0<r₁<R) и воспользуемся теоремой Гаусса. Так как внутри указанной области зарядов нет, то согласно указанной теореме получим равенство: (1), где E_n - нормальная составляющая напряженности электрического поля. Из соображений симметрии нормальная составляющая должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферической поверхности, поэтому E₁=E_n=const. Поэтому ее можно вынести за знак суммы. Тогда равенство (1) примет вид . Т. к. площадь сферы не равна нулю, то Е₁=0 (во всех точках области I) – внутри проводника зарядов нет и напряженность поля равна нулю.

В области II R£r₂ проведем сферическую поверхность S₂ радиусом r₂ и воспользуемся теоремой Гаусса:

(2), Þ - напряженность поля вне сферы рассчитывается по той же формуле, что и напряженность поля точечного заряда.

Электрическое поле заряженного шара

Заряд равномерно распределен по всему объему шара, поэтому введем понятие объемной плотности заряда: . Рассмотрим две области I – внутри сферы радиуса R с зарядом q и вне сферы область II.

Для определения напряженности в области I проведем сферическую поверхность S₁ радиусом r₁ (0<r₁<R) и воспользуемся теоремой Гаусса: - напряженность поля внутри шара увеличивается прямо пропорционально расстоянию до центра шара.

В области II R £ r₂ проведем сферическую поверхность S₂ радиусом r₂ и воспользуемся теоремой Гаусса:

(2), Þ - напряженность поля вне шара рассчитывается по той же формуле, что и напряженность поля точечного заряда.