Условия на границе раздела двух диэлектриков

Рассмотрим границу раздела двух изотропных диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями e₁ и e₂ (e₁ < e₂).

Пусть на границе раздела свободные заряды отсутствуют.

Оба диэлектрика находятся в однородном электрическом поле напряжённостью Е. Напряжённость электрического поля в одном из диэлектриков будет равна Е₁, во втором – Е₂.

Выберем некоторый контур, охватывающий границу раздела двух сред.

Поскольку электрическое поле консервативно, работа куло-новских сил на замкнутом конту-ре A_l равна нулю

A_l = A₁₂ + A₂₃+ A₃₄+ A₄₁=0.

На участках 12 и 34 рассматриваемого контура работа

.

_____________________________

* В случае использования вектора напряженности теорема Гаусса имеет вид

В этих выражениях Е_1t и Е_2t – проекции векторов Е₁ и Е₂ на ось, параллельную границе раздела двух диэлектриков.

Пусть l₂₃ = l₄₁ ® 0. Тогда работа кулоновских сил на этих участках будет равна нулю.

Тогда работа кулоновских сил на всей длине контура

A_l = A₁₂ +A₃₄ = 0

и

A₁₂ = -A₃₄.

Последнее соотношение можно переписать в виде

.

Сократив одинаковые множители, получаем

.

Таким образом, компонента вектора напряжённости, парал-лельная границе раздела двух сред (тангенциальная компонента), с обеих сторон от границы одинакова.

Вектор электрического смещения D = e_oeE. Следовательно,

D_1t = e_oe₁E_1t,

D_2t = e_oe₂E_2t,

А это, в свою очередь, означает, что

или

.

Другими словами – тангенциальная компонента вектора (D_t) на границе раздела скачкообразно изменяется в соответствии с последним соотношением.

Теперь рассмотрим поведение компонент векторов D и E, перпендикулярных границе раз-дела двух диэлектриков. Для этого воспользуемся теоремой Гаусса. В качестве поверхности интегрирова­ния выберем цилиндр бесконечно малой высоты, основания которого параллельны границе раздела двух диэлектриков.

В соответствии с теоремой Гаусса, считая электрическое поле однородным, мы вправе записать*:

и

.

Отсюда следует, что

.

Таким образом, на границе раздела скачком изменяется нормальная составляющая вектора напряжённости и не изменя-ется нормальная составляющая вектора электрического смещения.

Вследствие этого силовые линии на границе раздела двух диэлектриков изменяют направление**. Действительно,

Е_1t = Е_2t,

e₁Е_1n = e₂Е_2n.

Из рисунка видно, что . Выражая тангенс угла наклона силовых линий в каждом из диэлектриков, получим:

, ,

.

Таким образом, в среде с бóль-шей диэлектрической проницаемостью (e₂ >e₁) силовые линии увеличивают наклон (см. рисунок)

_______________________

* Мы не будем здесь подробно описывать математические преобразования: они просты и практически одинаковы с рассмотренными перед этим.

** Если силовые линии перпендикулярны границе раздела, то их направление не изменяется.