Наращение, дисконтирование и банковский учет по сложным ставкам

Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам

В практических финансовых операциях суммы денег всегда связываются с конкретными моментами и периодами времени. Фактор времени играет наиболее важную роль, поэтому необходимость его учета выражается в принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени.

Процентные деньги или проценты - абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой его форме.

Период начисления (n) - временной интервал, к которому приурочена процентная ставка.

Процентная ставка - отношение дохода (процентных денег) к сумме долга за единицу времени:

,

где i – процентная ставка;

PV – первоначальная сумма ссуды;

I – сумма перечисленных процентов.

Наращенная сумма ссуды, долга, депозита (FV) - первоначальная ее сумму с начисленными процентами к концу срока:

Если ставки процентов применяются к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды – это простые процентные ставки.

Основная формула наращения денег по простым процентным ставкам имеет вид:

,

где - множитель наращения простых процентов. Отсюда:

Банковский учет по простой учетной ставке

Процесс начисления процентов и их удержания называют учетом.

Суть операции учета: банк до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.к. покупает (учитывает) его с дисконтом (т.е. со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт.

При банковском учете применяется простая или сложная учетная ставка d:

.

Формула банковского учета по простой учетной ставке:

,

где n – срок от момента учета до даты погашения векселя.

- дисконтный множитель по простой учетной ставке.

Важно! При учете векселя временная база – 360 дней.

Операции начисления процентов и дисконтирования по учетной ставке могут совмещаться. Например, при учете долгового обязательства, предусматривающего начисление простых процентов, следует решить две задачи:

,

где - первоначальная сумма ссуды;

- сумма, полученная при учете;

- общий срок платежного обязательства (срок начисления процентов);

- срок от момента учета до даты погашения долгового обязательства, причем .

Наращение, дисконтирование и банковский учет по сложным ставкам

Если проценты не выплачиваются сразу после начисления, а присоединяются к сумме долга, то для наращения применяются сложные проценты. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, называют капитализацией процентов. Формула для расчета наращенной суммы при ежегодной капитализации процентов имеет вид:

,

где - годовая сложная ставка процентов;

- множитель наращения по сложной процентной ставке.

Кроме этого существует смешанный метод начисления процентов, который предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и по формуле простых процентов – за дробную часть периода:

,

где а – целое число периодов (лет);

b – дробная часть периода, т.е. n = a + b.

На практике наращение денег производится один раз в году по ставке i или m раз в году по ставке j/m.

Годовая ставка i, при которой финансовый результат не будет отличаться от результата при начислении процентов m раз в году по ставке j/m, называется эффективной или действительной ставкой; j при этом является номинальной ставкой.

Эффективная ставка характеризует тот реальный относительный доход, который получает кредитор за год при начислении процентов m раз в году по ставке j/m. Расчет наращенной суммы с использованием номинальной процентной ставки при m-разовом начислении процентов в году производится по формуле:

,

где m – количество начислений процентов в году.

По определению:

отсюда: .

Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку i не изменяет финансовых обязательств сторон, т.е. обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Формула математического дисконтирования по сложной процентной ставке:

,

где - дисконтный множитель по сложной процентной ставке.

При наращении и капитализации процентов m раз в году:

,

где - дисконтный множитель.

Формула банковского учета по сложной учетной ставке:

,

где - дисконтный множитель по сложной учетной ставке.

Дисконтирование может производиться не один, а m раз в году, т.е. каждый раз учет производится по ставке f/m. В этом случае:

,

где f – номинальная годовая учетная ставка.

Эффективная учетная ставка (d) характеризует степень дисконтирования за год. Определим ее на основе равенства дисконтных множителей:

,

откуда

.

В свою очередь

.