Гиперболический параболоид (седло)

- поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида = 0 (°°) (где a > 0, b > 0).

1) По уравнению (°°) видно, что гиперболический параболоид симметричен относительно координатных плоскостей (xOz) и (yOz) и координатной оси (Oz).

2) Сечения плоскостями z = z₀ (z₀- константа).

z = 0 (плоскость (xOy)):

- две пересекающиеся в начале координат прямые, которые в плоскости (xOy) задаются уравнениями y = x;

z = z₀ , z₀ < 0(плоскость параллельная плоскости (xOy)):

Û (где l > 0, l² = - z₀) - гипербола с действительной полуосью lb и мнимой полуосью la, асимптоты этой гиперболы - это прямые, которые в плоскости z = z₀ задаются уравнениями y = x.

При этом чем больше по модулю значение z₀, тем больше значение l, то есть тем больше полуоси la и lb гиперболы, тем дальше друг от друга вершины гиперболы.

z = z₀ , z₀ > 0(плоскость параллельная плоскости (xOy)):

Û (где l > 0, l² = z₀) - гипербола с действительной полуосью la и мнимой полуосью lb, асимптоты этой гиперболы - это прямые, которые в плоскости z = z₀ задаются уравнениями y = x.

При этом чем больше значение z₀, тем больше значение l, то есть тем больше полуоси la и lb гиперболы, тем дальше друг от друга вершины гиперболы.

РИС. 61 сечения гиперболического параболоида плоскостью (xOy)

и плоскостями ей параллельными

3) Сечения плоскостями x = x₀ (x₀- константа).

Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай x₀ ³ 0.

x = 0 (плоскость (yOz)):

- парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены «вниз» (относительно положительной полуоси (Oz));

x = x₀ , x₀ > 0 (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

- парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены «вниз» (относительно положительной полуоси Oz));

Заметим, что от значения x₀, не зависит форма параболы, в сечении плоскостями параллельными плоскости (yOz) мы получаем равные параболы, вершины которых с ростом значения x₀ смещаются вверх вдоль оси (Oz).

4) Сечения плоскостями y = y₀ (y₀- константа).

Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай y₀ ³ 0.

y = 0 (плоскость (xOz)):

- парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены «вверх» (относительно положительной полуоси (Oz));

x = x₀ , x₀ > 0 (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

- парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены «вверх» (относительно положительной полуоси Oz));

Заметим, что от значения y₀, не зависит форма параболы, в сечении плоскостями параллельными плоскости (xOz) мы получаем равные параболы, вершины которых с ростом значения y₀ смещаются вниз вдоль оси (Oz).

РИС. 62 гиперболический параболоид

Прямолинейные образующие гиперболического параболоида

Теорема.

Для любого гиперболического параболоида существуют два семейства прямых, такие что: (1) Любая прямая каждого семейства полностью лежит на параболоиде;

(2) Через каждую точку параболоида проходит ровно одна прямая из каждого семейства;

(3) Любые две прямые из одного семейства скрещиваются;

(4) Любые две прямые из разных семейств пересекаются.

Определение.. Прямую семейства, обладающего свойствами (1), (2), будем называть прямолинейной образующей.