Однородные системы линейных уравнений

Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.

Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.

В линейном пространстве множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r; - базис этого подпространства.

13 билет

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ

линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений - базис векторного пространства действительных (комплексных) решений этой системы. (Система может состоять и из одного уравнения.) Более подробно это определение формулируется следующим образом.
Множество действительных (комплексных) решений {x₁(t),...,x_n(t)}(заданных на нек-ром множестве Е)линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений наз. Ф. с. р. этой системы уравнений (на множестве Е)при выполнении совокупности следующих двух условий: 1) если действительные (комплексные) числа С ₁,..., С _n таковы, что функция C₁x₁(t)+...+C_nx_n(t)тождественно равна нулю на Е, то все числа С ₁,..., С _n равны нулю; 2) для всякого действительного (комплексного) решения х(t)рассматриваемой системы уравнений найдутся действительные (соответственно комплексные) числа С ₁,..., С _n (не зависящие от t)такие, что x(t) = C₁x₁(t)+...+C_nx_n(t)при всех
Если -произвольная невырожденная -матрица, а {x₁(t), ..., х _п(t)}есть Ф. с. р., то также есть Ф. с. р.; всякая Ф. <с. <р. получается таким преобразованием из данной Ф. с. р.
Если система дифференциальных уравнений имеет вид

где (или а (соответственно причем отображение суммируемо на каждом отрезке, содержащемся в - конечный или бесконечный интервал в то векторное пространство решений этой системы изоморфно (соответственно Следовательно, система (1) имеет бесконечно много Ф. с. р., и каждая такая Ф. с. р. состоит из пре шений. Напр., для системы уравнений
произвольная Ф. с. р. имеет вид

где -произвольные линейно независимые векторы-столбцы.
Всякая Ф. с. р. системы (1) имеет вид

где - Коши оператор системы (1), - произвольное фиксированное число из интервала а x₁, . . ., х _п - произвольный фиксированный базис пространства (соответственно
Если система дифференциальных уравнений состоит из одного уравнения

где функции
суммируемы на каждом отрезке, содержащемся в (где - конечный или бесконечный интервал в то векторное пространство решений этого уравнения изоморфно (соответственно Следовательно, уравнение (2) имеет бесконечно много Ф. с. р., и каждая из них состоит из kрешений. Напр., уравнение имеет Ф. с. р. общее действительное решение этого уравнения дается формулой где C₁, С₂ - произвольные действительные постоянные.
Если система дифференциальных уравнений имеет вид

где (или ) и при всяком i = l, ..., k-1 отображение

суммируемо на каждом отрезке, содержащемся в (где -конечный или бесконечный интервал в то пространство решений этой системы уравнений изоморфно (соответственно Ф. с. р. системы (3) существуют, и каждая из них состоит из kn решений.
Для линейных однородных систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старших производных, даже если коэффициенты системы постоянные, число решений, входящих в Ф. с. р. (т. е. размерность векторного пространства решений), вычисляется иногда не столь просто, как в вышеприведенных случаях. (В [1], з 11 рассмотрено такое вычисление для линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, не разрешенных относительно старших производных.)

14 билет

Векторы на плоскости

Определение вектора

Рассмотрим на плоскости две точки A и B. Обозначим через вектор AB, понимая под этим направленный отрезок AB, т. е. отрезок, у которого точка A является началом, а точка B -- концом . Таким образом, точки A и B, ограничивающие вектор , играют различную роль. Именно в этом в первую очередь и состоит главное различие между вектором и отрезком AB. Две точки A и B плоскости задают два различных вектора и одинаковой длины и противоположно направленные.

Сложение векторов

Параллельный перенос

Под параллельным переносом вдоль вектора понимают перемещение всех точек пространства в одном направлении на одинаковое расстояние. Определим сложение векторов так, чтобы последовательные сдвиги вдоль двух векторов соответствовали сдвигу вдоль суммы этих векторов.

Пусть даны два вектора и . Приложим вектор к некоторой точке , получим . Приложим вектор к точке , получим . Тогда вектор будем называть суммой векторов: .

Докажем, что данное определение не зависит от выбора точки .

Приложим вектор к другой точке , получим . Приложим вектор к точке , получим .

Рассмотрим направленные отрезки и . Они, очевидно, равны (см. рис.), поскольку — параллелограмм.

Умножение на число

Произведением вектора на число называется вектор, который:

1. коллинеарен вектору ;
2. сонаправлен ему, если , или противоположнонаправлен, если ;
3. длины связаны следующим соотношением: .

Данное определение согласовано с определением сложения:

для любого натурального .