Методика графического анализа чувствительности оптимального решения

Первая задача анализа на чувствительность
(анализ на чувствительность к правой части ограничений)

Для изготовления двух видов продукции Р₁ и Р₂ используют 4 вида ресурсов S₁ , S₂ , S₃ и S₄ .

Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице (цифры условные).

Область допустимых решений задачи (рис.1) – многоугольник ABCDEF. В оптимальной точке D пересекаются прямые (1) и (2) х₁+3х₂=18 2х₁+х₂=16.

Поэтому ограничения (1) и (2) являются связывающими, а соответствующие им ресурсы (ингредиенты А и В) – дефицитными.

Рассмотрим экономический смысл этих понятий. Точка максимума целевой функции D соответствует суточному производству 6 единиц продукции 1 вида и 4 единиц продукции 2-го вида. В производстве красок используются ингредиенты А и В.

Суточный запас на складе ингредиентов S₁ и S₂ – это правые части связывающих ограничений (1) и (2) (18 и 16 ед.). Согласно этим ограничениям, на производство в точке D расходуется

(1) и (2).

Рис. 1. Графическое решение задачи

Таким образом, понятие "связывающие ограничения" (1) и (2) означает, что при производстве красок в точке D запасы ресурсов S₁ и S₂ расходуются полностью и по этой причине невозможно дальнейшее наращивание производства. В этом заключается экономический смысл понятия дефицитности ресурсов, т.е. если фирма сможет увеличить суточные запасы ресурсов, то это позволит увеличить выпуск продукции. В связи с этим возникает вопрос: до какого уровня целесообразно увеличить запасы ингредиентов и на сколько при этом увеличится оптимальное производство?

Правило 1

Чтобы графически определить максимальное увеличение запаса дефицитного ресурса, вызывающее улучшение оптимального решения, необходимо передвигать соответствующую прямую в направлении улучшения целевой функции до тех пор, пока это ограничение не станет избыточным.

При прохождении прямой (1) через точку К (рис. 2) многоугольник ABCKEF становится Областью допустимых решений, а ограничение (1) – избыточным. Действительно, если удалить прямую (1), проходящую через точку К, то ОДР ABCKF не изменится. Точка К становится оптимальной, в этой точке ограничения (2) и (4) становятся связывающими.

Рис. 2. Анализ увеличения ресурса S₁

Правило 2

Чтобы численно определить максимальную величину запаса дефицитного ресурса, вызывающую улучшение оптимального решения,

необходимо:1) определить координаты точки , в которой соответствующее ограничение становится избыточным;

2) подставить координаты в левую часть соответствующего ограничения.

Координаты точки К (5,5;5) находятся путем решения системы уравнений прямых (2) и (3). Т.е. в этой точке фирма будет производить 5,5 ед. продукции P₁ и 6 ед. продукции P₁. Подставим и в левую часть ограничения (1) и получим максимально допустимый запас ингредиента S₁

[ед.].

Дальнейшее увеличение запаса ингредиента А нецелесообразно, потому что это не изменит область допустимых решений и не приведет к другому оптимальному решению (см. рис. 2). Доход от продажи продкуции в объеме, соответствующем точке К, можно рассчитать, подставив ее координаты (5;6) в выражение целевой функции

[руб.].

Рассмотрим вопрос о целесообразности увеличения запаса ингредиента В. Согласно правилу №1, соответствующее ограничение (2) становится избыточным в точке J, в которой пересекаются прямая (1) и (4) (рис. 3). Многоугольник ABCDJF становится областью допустимых решений, а точка J(7; ) – оптимальным решением.

Рис. 3. Анализ увеличения ресурса S₂

Доход от продажи при этом составит

[руб.].

Чтобы обеспечить такой режим работы, согласно правилу № 2, запас ингредиента В надо увеличить до величины

[ед.].

Ограничения (3) и (4) являются не связывающими, т.к. не проходят через оптимальную точку D (см. рис. 1). Соответствующие им ресурсы являются недефицитными. С экономической точки зрения это означает, что в данный момент уровень спроса непосредственно не определяет объемы производства. Поэтому некоторое его колебание может никак не повлиять на оптимальный режим производства в точке D.

Например, увеличение (уменьшение) спроса на продукцию 2-го вида будет соответствовать перемещению прямой ограничения (3) вверх (вниз). Перемещение прямой (3) вверх никак не может изменить точку D максимума целевой функции. Перемещение же прямой (3) вниз не влияет на существующее оптимальное решение только до пересечения с точкой D (см. правило №3). Из рис. 1 видно, что дальнейшее перемещение (4) приведет к тому, что точка D будет за пределами новой области допустимых решений, выделенной более темным цветом. Кроме того, любое оптимальное решение для этой новой области допустимых решений будет хуже точки D.

Правило № 3

Чтобы определить максимальное уменьшение запаса недефицитного ресурса, не меняющее оптимальное решение, необходимо передвигать соответствующую прямую до пересечения с оптимальной точкой.

Правило № 4

Чтобы численно определить минимальную величину запаса недефицитного ресурса, не меняющую оптимальное решение, необходимо подставить координаты оптимальной точки в левую часть соответствующего ограничения.

Чтобы выяснить, до каких пределов падение спроса на продукции 2-го вида не повлияет на производство в точке D (6,4) , используем правило № 4. Подставляем в левую часть ограничения (3) координаты точки D, получаем

.

Делаем вывод: предельный уровень, до которого может упасть спрос на продукцию 2-го вида и при котором не изменится оптимальность полученного ранее решения, равен 4 ед.

Экономический смысл ограничения (4)

Согласно правилу №4, подставим координаты точки D (6,4) в левую часть ограничения (3)

[т краски].

Делаем вывод: предельный уровень, до которого может упасть спрос на продукцию 1-го вида и при котором не изменится оптимальность полученного ранее решения, равен 18 ед.

Результаты решения первой задачи анализа оптимального решения на чувствительность представлены в табл.

Таблица