Задания для самостоятельного решения

Исследовать функцию у=f(х) на экстремум и определить у_max и у_min на отрезке [а, в].

1. у=3х⁴ -16х³+2 [-3; 1];

2. у=х³-12х+7 [0; 3];

3. у=х⁵- [0; 2].

 

Точки перегиба. Асимптоты функции

а)

График функции обращен выпуклостью вверх (выпуклый), если он лежит ниже касательной, проведенной в любой ее точке (рис.а).

График функции у=f(х) обращен выпуклостью вниз (вогнутый), если он лежит выше касательной, проведенной в любой ее точке (рис.б).

Если функция у=f(х) во всех точках интервала (а; в) имеет отрицательную вторую производную, т.е. f²(x)<0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если f²(x)>0, то график выпуклый вниз.

Точка графика, отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.

Точки кривой, в которых f²(x)=0, или не существует, называются критическими точками второго рода.

Точки перегиба следует искать среди критических точек второго рода. В критической точке второго рода будет перегиб, если при переходе через эту точку f²(x) меняет знак.

 

Асимптотой кривой y=f(x) называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (на рисунке мы имеем две асимптоты функции у=f(x): х=а и у=0).

Различают горизонтальные, вертикальные и наклонные асимптоты.

Кривая имеет горизонтальную асимптоту, если или (1)

Кривая имеет вертикальную асимптоту если . (2)

Очевидно, что вертикальные асимптоты функция может иметь только в точках разрыва или на границах области определения.

Наклонной асимптотой кривой называется прямая где

(3)

(следует отдельно рассматривать случаи и ).

Заметим, что если k=0, мы получим уравнение горизонтальной асимптоты. Т.е. формулы (1) являются частным случаем формул (3).

Общее исследование функции.

Для полного исследования функции обычно выясняют такие её характеристики:

1. Область определения функции

2. Четность, нечетность функции

3. Точки пересечения с осями координат (если возможно).

4. Асимптоты графика функции

5. Интервалы монотонности и экстремумы функции

6. Интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции

По полученным данным построить график функции. Если данных исследования не достаточно для построения графика функции, можно вычислить ее значения в нескольких точках области определения.

 

Правило Лопиталя

Правило: Предел отношения двух бесконечных малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если он существует, т.е. .

То есть вычисление предела в случае неопределенности вида или можно заменить вычислением предела отношения их производных, которое часто бывает проще.

Если отношение производных опять приводит к неопределенностям или , нужно рассматривать отношение вторых производных, (предварительно выполнив все возможные упрощения и т.д.

Пример.Вычислить .

Решение. . Применим правило Лопиталя :

.

Пример. Вычислить

. Применим правило еще раз: