Инъективные, сюръективные отображения

Определение 1.Отображение : называется инъективным или инъекцией, если два различных элемента из множества имеют образами при отображении два различных элемента из множества , т.е.

, .

Например, отображение : приведенное на следующей схеме

 

является инъекцией множества в множество . Здесь .

Определение 2. Отображение : называется сюръективным или сюръекцией, если каждый элемент из множества является образом при отображении по крайней мере одного элемента из , т.е.

такой, что , т.е. .

Сюръективное отображение – это отображение множества на множество .

Например, отображение :

 

 

является сюръективным, а отображение :

не является сюръективным.

Если при отображении : , то отображение - сюръективное.

Теорема. Отображение : биективно тогда и только тогда, когда оно инъективно и сюръективно одновременно.

Доказательство. Пусть : - биективно. Тогда каждый элемент является образом при отображении некоторого элемента , следовательно, отображение - сюръективно. А так как этот элемент - единственный, то из этого следует, что разным элементам соответствуют разные образы, т.е. отображение инъективно.

Обратно, пусть : - инъективно и сюръективно одновременно. Тогда в силу сюръекции , а ввиду инъективности отображения содержит единственный элемент.

Примеры.

1. ,

Отображение не сюръективно, т.к. элемент не является образом ни одного элемента из . Оно не является и инъективным, т.к. два различных элемента и имеют образом один и тот же элемент .

2. : ,

Отображение сюръективно, но не инъективно.

3. : ,

Отображение сюръективно и инъективно одновременно, т.к. оно биективно.

 

Графики взаимнообратных функций

1. : , , - нечетное.

Уравнение для любого имеет единственное решение , поэтому функция : обратима и имеет обратную функцию : по правилу .

Обозначим аргумент обратной функции через , получим

: , .

Рассмотрим графики функций и .

.

График обратной функции (рис. 6б) симметричен графику функции (рис. 6а) относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

 

 

 

 

0 0

 

 

Рис. 6а Рис. 6б

 

2. Отметим, что следующая функция не обратима:

: , , - четное.

 

 

0

 

 

Рис. 7

 

3. : , ,

: , .

 

 

 

 

0 0

 

 

Рис. 8а Рис. 8б

 

 

4. : , , - нечетное

: , .

 

 

 

0 0

 

Рис. 9а Рис. 9б

 

5. : , , - четное. Эта функция не обратима.

 

 

 

 

0

 

 

Рис. 10

6. : , ,

: , .

 

 

 

1 1

 

 

0 1 0 1

 

 

Рис. 11а Рис. 11б

 

7. : , , , ,

: , .

 

 

 

¹

 

 

0 0 ₁

 

 

Рис. 12а

Рис. 12б

 

8. : , ,

: , .

 

 

₁

 

_{0 1 -1 0 1}

 

^-1

 

Рис. 13а Рис. 13б

 

9. : , ,

: , .

 

 

 

1

0 -1 0 1

^-1

 

Рис. 14а Рис. 14б

 

10. : , ,

: , .

 

0 ₀

 

 

Рис. 15а Рис. 15б

11. : , ,

: , .

 

 

0