Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения событий А и В (или вероятность их совместного наступления) равна произведению вероятности наступления первого события на условную вероятность наступления второго, вычисленную в предположении, чтопервое событие имело место.

Символически:Р(А´В)=Р(А)´

Следствие 1. В силу симметрии, т.к. А´В=В´А, то

Р(А´В)=Р(В´А)=Р(В)´

Следствие 2. Для независимых событий:

Р(А´В)=Р(А)´Р(В)

· У мышей черная окраска шерсти – доминантный признак, коричневый окрас – рецессивный. Предположим, что скрещиваются две гетерозиготные мыши, причем при каждом скрещивании в помете – четыре потомка. Оценим вероятности всех возможных вариантов окраса шерсти потомков.

1) Обозначим события: E₁= {все четыре мышонка – коричневого окраса},

А={первый мышонок - коричневый},

В={второй мышонок - коричневый},

С={третий мышонок - коричневый},

D={четвертый мышонок - коричневый}.

Тогда E₁=А´В´С´D. По теореме умножения вероятностей для независимых событий

Р(E₁)=Р(А)´Р(В)´Р(С)´Р(D). В соответствии с первым законом Менделя:

Р(E₁)= ´ ´ ´ =

2) E₂={в помете три коричневых и один черный мышонок}.

При этом черный может быть первым (A₁), вторым (A₂), третьим (A₃) или четвертым (A₄).

Графически: Так как E₂ =A₁+A₂+ A₃+ A₄.

Þ Р( )=Р( )+Р( )+Р( )+Р( )

● ○ ○ ○ (в силу несовместимости событий ).

○ ● ○ ○

○ ○ ● ○ По теореме умножения вероятностей:

○ ○ ○ ●

Р( ) = Р( ) = Р( ) = Р( ) = ´ ´ ´

Откуда Р( ) = 4´ ´ ´ ´ =

3) E₃= {в помете 2 коричневых и 2 черных мышонка}.

Черные могут быть: «Первый и второй» ( ), «Первый и третий» ( ), «Первый и четвертый» ( ), «Второй и третий» ( ), «Второй и четвертый» ( ), «Третий и четвертый» ( ).

Графически: Так как = Þ

● ● ● ○ ○ ○

● ○ ○ ● ● ○ Р( ) = ) = 6´ ´ ´ ´ =

○ ● ○ ● ○ ● (в силу несовместимости событий ).

○ ○ ● ○ ● ●

4) E₄= {в помете 1 коричневый и 3 черных мышонка}.

Коричневый может быть: «первым» ( ), «вторым» ( ), «третьим» ( ) или «четвертым» ( ).

Графически: = + + + Þ

○ ● ● ● Р( )= =4´ ´ ´ ´ = .

● ○ ● ● (в силу несовместимости )

● ● ○ ●

● ● ● ○

5) E₅= {все четыре мышонка – черного (доминантного) окраса}.

Обозначим события:

А={первый мышонок - черный},

В={второй мышонок - черный},

С={третий мышонок - черный},

D={четвертый мышонок - черный}.

Тогда: E₅=А´В´С´D Þ Р( )=Р(А)´Р(В)´Р(С)´Р(D)= ´ ´ ´ =

Замечание: События , , , , образуют полную группу и = + + + + = 1.

Теорема сложения вероятностей(для случая совместных событий)

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления.

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А´В)

· Известно, что в посевах пшеницы (на делянке) 95% здоровых растений. Выбирают два растения. Какова вероятность, что среди них хотя бы одно окажется здоровым?

- Обозначим: А={первое растение - здоровое},

В = {второе растение - здоровое},

С = {хотя бы одно растение - здоровое}.

Очевидно, С=А+В Þ Р(С)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А´В)=0,95+0,95-0,95´0,95=0,9975