Производная сложной функции. Пусть у = f(u) – функция от переменной u, а - функция от переменной х

Пусть у = f(u) – функция от переменной u, а - функция от переменной х, тогда - сложная функция.

Теорема.Если у = f(u) и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу u, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т.е. .

Эта теорема распространяется и на сложные функции, которые состоят из нескольких вложенных функций. Например, если , , , т.е. , то .

Найти производные функций:

1) .

Представим данную функцию как , где , тогда

= .

2) .

, где , тогда

.

Можно не вводить промежуточную переменную, а сразу находить производную по внешней функции, и умножать ее на производную внутренней функции:

^.

производная производная

степенной основания

ф-и степени.

3) .

Обозначим ; , тогда .

4) .

; . Воспользуемся формулой (2) из таблицы, и результат умножим на . Видно, что обозначенная нами через функция сама является сложной: степенная функция, у которой основание тоже является функцией.

,

.

Эту же производную можно найти другим способом. Перепишем условие:

, тогда как производная степенной функции:

.

5) .

Обозначим: ; ; , тогда , где

; , подставим:

.

Эту же производную можно найти другим способом. Перепишем условие:

.

Производная произведения и частного

Найти производные функций:

1)

Обозначим через ; , тогда y=u^. v , т.е. нужно найти производную произведения двух функций. Применим формулу: ;

; , тогда .

2)

; .

3)

.

4)

Имеем частное двух функций: . Согласно формуле для нахождения производной частного двух функций , имеем:

.

5)

Производная тригонометрических функций

Найти производные функций:

1)

Имеем сложную функцию, в которой внешняя функция , а внутренняя

По правилу дифференцирования сложных функций находим производную внешней функции и умножаем ее на производную внутренней:

2)

Имеем алгебраическую сумму двух сложных функций.

.

3)

.

4)

Сначала находим производную корня, и умножаем ее на производную подкоренного выражения.

.

5)

Имеем сложную функцию, состоящую из 3-х звеньев: ;

;

.

6)

Имеем сумму двух сложных функций.

производная произв. произв. произв. произв.

степени косинуса степени синуса аргумента

7)

Перепишем: . Тогда .

8)

Нужно обратить внимание, что в формулу производной обратной тригонометрической функции вместо нужно брать квадрат всей функции, которая стоит под знаком обратной тригонометрической функции, и еще умножить на производную этой функции.

.

9)

10)