Метод сечений. Напряжение

Внешние силы, действующие на тело, вызывают появление в нём внутренних сил упругости. Если внешние силы деформируют тело, то внутренние силы сопротивляются их воздействию и стремятся сохранить первоначальную форму и объём тела. При решении задач сопротивления материалов, связанных с расчётом на прочность и жёсткость элементов конструкций, необходимо уметь определять внутренние силы и деформации, возникающие в этих элементах.

При определении внутренних сил в каком-либо сечении тела используют метод сечений. Это универсальный метод, который можно использовать при любом виде деформации, рассмотренном выше. Суть этого метода заключается в следующем. Рассмотрим тело, находящееся в состоянии равновесия под действием четырёх сил , , , (рис. 2.6). Для определения внутренних сил, действующих в любом сечении, например n-n, мысленно рассечём тело по этому сечению и одну из частей отбросим (рис. 2.7). На оставшуюся часть тела действуют силы и . Для того чтобы тело находилось в равновесии, необходимо по всему сечению приложить внутренние силы. Эти силы представляют действие отброшенной правой части на оставшуюся левую. Будучи внутренними для целого тела, они играют роль внешних сил для выделенной части.

Величина равнодействующей внутренних усилий определяется из условия равновесия оставшейся части тела при помощи уравнений статики.

Рис. 2.6 Рис. 2.7

Метод сечений позволяет определить только сумму внутренних сил, действующих в интересующем нас сечении. Сумма этих сил может приводиться к одной силе, к паре сил или в общем случае – к силе и паре сил. Закон распределения внутренних усилий по сечению, как правило, неизвестен. Для решения этого вопроса необходимо знать в каждом конкретном случае, как деформируется данное тело под действием внешних сил. Таким образом, в поперечном сечении нагруженного внешними силами тела действуют непрерывно распределённые усилия, интенсивность которых может быть различной в разных точках сечения и в разном направлении.

Если в сечении выделить бесконечно малую площадку ∆A и обозначить равнодействующую внутренних сил, действующих на эту площадку ∆R, то отношение силы ∆R к величине выделенной площадки ∆A даст среднее напряжение на этой площадке:

Таким образом, чтобы получить истинное напряжение или просто напряжение в данной точке, необходимо уменьшить до бесконечности размеры площадки:

Упрощенно можно сказать, что напряжением называется внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади в данной точке данного сечения.

Напряжение выражают в ньютонах на квадратный метр. Эта величина называется паскаль: Па = Н/м². В технике часто применяют единицу измерения напряжения, которая носит название мегапаскаль. Один мегапаскаль равен миллиону паскалей: 10⁶ Па = МПа.

Полное напряжение р можно разложить на две составляющие: нормальную к плоскости сечения, она обозначается σ и называется нормальным напряжением; вторая составляющая лежит в плоскости сечения, она обозначается τ и называется касательным напряжением (рис. 2.8). Касательное напряжение может иметь любое направление в плоскости сечения. Для удобства представляют в виде двух составляющих по направлению координатных осей (рис. 2.9). У нормального напряжения ставится индекс, указывающий, какой из осей параллельно это напряжение. Растягивающие нормальные напряжения принято считать положительными, сжимающие – отрицательными. Касательные напряжения снабжены двумя индексами. Первый показывает, какой оси параллельна нормаль к площадке действия данного напряжения; второй – какой оси параллельно само напряжение.

Очевидно, что полное напряжение можно выразить через и :

Полное напряжение не считается удобной мерой интенсивности внутренних усилий, так как материалы по разному сопротивляются действию нормальных и касательных напряжений. Нормальные напряжения (рис. 2.8) стремятся сблизить либо удалить отдельные части тела. Действие касательных напряжений (рис. 2.9) приводит к сдвигу одних частиц относительно других в плоскости сечения.

Рис. 2.8 Рис. 2.9

Если мысленно вырезать вокруг какой-нибудь точки тела элемент в виде бесконечно малого кубика, то по его граням в общем случае будут действовать напряжения, представленные на рис. 2.10. Совокупность напряжений на всех элементарных площадках, проведённых через какую – либо точку тела, называется напряжённым состоянием в данной точке.

Если по граням кубика действуют только нормальные напряжения, то они называются главными, а площадки, на которых они действуют, – главными площадками. Можно доказать, что в каждой точке напряжённого тела существует три главные взаимно перпендикулярные площадки. Главные напряжения обозначают , , , при этом с учётом знака напряжения , (рис. 2.11). Различные виды напряжённого состояния классифицируются в зависимости от числа возникающих главных напряжений. Если отличны от нуля все три главных напряжения, то напряжённое состояние называется трёхосным или объёмным. 1Если равно нулю одно из главных напряжений, то напряжённое состояние называется двухосным или плоским. Если равны нулю два главных напряжения, то напряжённое состояние одноосное или линейное.

Рис. 2.10 Рис. 2.11

Зная напряжённое состояние в любой точке тела, можно оценить его прочность. В простейших случаях оценка прочности детали производится по наибольшему нормальному либо по наибольшему касательному напряжению.

Условие прочности в этих случаях выразится неравенствами:

где [ ] [ ]– допускаемые нормальные и касательные напряжения соответственно.

В более сложных случаях оценка прочности производится по приведенному напряжению в соответствии с одной из теорий прочности.