Прямоугольный контур с током в однородном магнитном поле

Рассмотрим прямоугольную плоскую рамку с током, помещенную в однородное магнитное поле (рис. 32) так, чтобы линии магнитной индукции были перпендикулярны участкам 1–2 и 3–4 рамки. Для упрощения рисунка провода, подводящие ток к рамке, не показаны. Сдвоенные стрелки представляют вектор магнитной индукции.

Рассматриваемая модель является фундаментальной для понимания работы электродвигателя постоянного тока, представляющего собой совокупность таких рамок с током.

Итак, пусть I – сила тока, текущего по рамке прямоугольной формы со сторонами a и b, – силы Ампера, приложенные к соответствующим сторонам рамки (рис. 32). Из (2.13) следует, что силы и равны по величине и противоположны по направлению. При заданном направлении силы и приводят только к деформации рамки: в зависимости от направления тока они сжимают или растягивают ее.

Докажем, что силы и образуют пару сил, приводя рамку во вращение. На рис. 33 дано изображение сечения рамки, показанной на рис. 32, плоскостью, перпендикулярной сторонам 1–2 и 3–4. На этом рисунке – магнитный момент прямоугольного контура с током. Направление связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 2):

где – площадь прямоугольного контура; – единичный вектор нормали к плоскости рамки. На стороны рамки 1–2 и 3–4 действуют силы Ампера и (рис. 33), противоположные по направлению и равные по величине:

.

Таким образом, действительно и образуют пару сил, приводя рамку во вращение. Механический момент M пары сил, расстояние между линиями действия которых равно с (рис. 33), определяется формулой

.

Так как , получаем

. (2.18)

Или в векторном виде

. (2.19)

Вывод. В однородном магнитном поле на прямоугольный контур с током действует пара сил, приводящая его к вращению в направлении положения устойчивого равновесия. При этом ось вращения перпендикулярна вектору магнитной индукции и магнитному моменту контура.

Можно показать, что формула (2.19) справедлива и для плоского контура произвольной формы [2].

Случай, когда , т. е. вектор магнитного момента контура и вектор магнитной индукции имеют одинаковое направление, соответствует положению устойчивого равновесия контура (М = 0). При этом силы, действующие на отдельные участки, стремятся растянуть контур в его плоскости.

Случай, когда , т. е. вектор магнитного момента контура противоположно направлен вектору магнитной индукции, соответствует положению неустойчивого равновесия. При этом силы, действующие на отдельные участки контура, будут сжимать его.

При механический момент пары сил максимален (подразд. 1.1).

Вычислим работу сил Ампера по повороту контура (рис. 34). Пусть и характеризуют начальное и соответственно конечное положение контура в магнитном поле.

Из механики известно [6], что элементарная работа при вращательном движении

,

где – вращательный момент, а – элементарный угол поворота контура. Из рис. 34 видно, что увеличению соответствует уменьшение a. Следовательно, и элементарная работа по повороту контура

.

При изменении от значения до значения формула для работы сил Ампера по повороту контура в однородном магнитном поле имеет вид

(2.20)

Полученное выражение для работы сил Ампера позволяет ввести понятие энергии контура с током в магнитном поле. Из (2.20) видно, что энергия контура с током в магнитном поле определяется с точностью до некоторой постоянной:

Эту постоянную удобно взять равной нулю. Тогда

. (2.21)

Устойчивому положению контура ( ) соответствует минимум энергии:

.

Неустойчивому положению контура ( ) соответствует максимум энергии:

.

Как следует из (2.20) и (2.21), работа сил Ампера

, (2.22)

где и – энергия контура в начальном и конечном положениях, соответственно. Элементарная работа связана с изменением энергии контура следующим соотношением:

. (2.23)