Применение теорем об эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов и таблицы эквивалентностей

Замена переменных при вычислении пределов, использование непрерывности функции при вычислении пределов.

а) Правило замены переменной для непрерывной функции.

По определению непрерывности функции в точке ,

Если дана сложная функция , функция имеет предел в точке и функция непрерывна в точке , то

.

 

То есть при вычислении предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции. Например, в силу непрерывности основных элементарных функций справедливы равенства:

 

 

если – непрерывные функции и т. д.

Пример 5. Вычислить

 

б) Правило замены переменной для пределов функций в общем виде.

Пусть существуют пределы и и при . Тогда при существует предел сложной функции и .

Это правило полезно при вычислении предела в том случае, когда вычислить трудно. Полагают и находят предел при условии, что этот предел вычисляется проще первоначального.

Пример 6. Вычислить .

 

Решение. Сделаем замену переменной , тогда

 

.

 

Применение замечательных пределов при вычислении пределов функций

Предел называется первым замечательным пределом (раскрывает неопределенность ).

Если функция такова, что , то .Этот предел имеет важное значение при раскрытии неопределенности .

Пример 7. Вычислить

а) ; б) .

Решение. а) Имеем неопределенность .

б) .

Так как стремится не к 0, а к , то сделаем замену переменной . При при , а .

 

Имеем

Второй замечательный предел имеет вид

или

, где е=2,71826…– иррациональное и трансцендентное число. Если , то . Если , то .

С помощью второго замечательного предела раскрывается неопределенность , то есть ищутся пределы показательно- степенных функций , где .

Предположим, что в окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Применяя формулу второго замечательного предела и возможность перехода к пределу отдельно в основании и показателе степени, получаем:

Пример 8. Вычислить .

Решение.

в окрестности за исключением точки .

Применяя вышеуказанные преобразования, получим

В процессе вычисления предела получили

Вычисляем

Следовательно, и .

Ответ:

Пример 9.Вычислить

 

Решение. Имеем

При вычислении этого предела аналогично используем второй замечательный предел

Применение теорем об эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов и таблицы эквивалентностей.

 

Пусть и . Если , то и называются эквивалентными бесконечно малыми в точке . Это обозначается как при .

Теорема 1. Если , при , то при .

Теорема 2. Если , при , то

Теорема 3. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых эквивалентна бесконечно малой низшего порядка. Иначе: пусть – бесконечно малая низшего порядка по сравнению с , , тогда .

Теорема 4. Если , при , причем существует и отличен от –1, то при .

Таблица эквивалентностей.

Пусть – бесконечно малая при , то есть . Тогда

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. .

 

Все приведенные выше формулы справедливы при . Рассмотрим примеры на вычисление пределов с помощью теорем об эквивалентных бесконечно малых и таблицы эквивалентностей.

Пример 10. Вычислить

а) б) в)

Решение.

При вычислении этого предела применили теоремы 2 и 5 и табличные эквивалентности 1) и 7).

б) Имеем неопределенность .

Применим эквивалентность , так как . Но нельзя считать, что , поскольку при . Поэтому сделаем замену переменной при . Тогда имеем:

Использовали формулы приведения , табличные эквивалентности 1) и 11) и теорему 1: , так как .

в) В данном случае также имеем неопределенность .

Сделаем замену при .

Получаем

Применили эквивалентности 1) и 6).

Ответ: а) б) в)

 

Пример 11. Вычислить .

Решение. Так как при , то

Ответ: