Правила вычисления производной функции

Вычисление производной функции

Производная функции играет важную роль в различных приложениях математики, поэтому необходимо знать – в каких случаях можно вычислить производную и как это сделать.

Мы познакомились с основными элементарными и знаем, что все элементарные функции получаются из основных элементарных функций с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции (суперпозиции функций). Мы научимся вычислять производную любой элементарной функции. Для этого будет обоснована таблица производных основных элементарных функций и выведены правила вычисления производной суммы, разности, произведения, частного и суперпозиции функций.

С понятием производной мы познакомились на прошлой лекции и следовали при этом истории появления понятий дифференциала и производной. Историческое развитие не всегда является прямолинейным. Поэтому в современном изложении этого материала вначале, как правило, появляется понятие производной, а только затем понятие дифференциала. И происходит это примерно следующим образом.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует. Это можно записать в виде , имея в виду, что величина является приращением аргумента, - приращением функции. Если этот предел не существует, то мы говорим, что функция не имеет производную в этой точке.

Затем вводится понятие дифференциала функции, как главной части приращения функции, если это приращение представляется в виде , где - функция, обладающая свойством . При этом также, как мы и делали, доказывается теорема о том, что функция дифференцируема тогда и только тогда, когда существует производная этой функции. При этом и для дифференциала функции справедлива формула . Заметим, что из дифференцируемости функции следует ее непрерывность. В частности, отсюда следует, что функция, имеющая производную в точке, непрерывна в этой точке.

Правила вычисления производной функции

Теорема 1. Пусть существуют производные функций и Тогда справедливы формулы: , , , .

Доказательство. Так как существуют производные функций и , то и . Докажем первую из формул. Рассмотрим и после простой группировки слагаемых получим . Вторая формула доказывается совершенно аналогично. Далее рассмотрим с учетом определения производной оказывается справедливой третья формула (с учетом непрерывности этих функций). Аналогично доказывается формула № 4, после чего теорема будет доказана.

Теорема 2. Пусть существуют производные функций и . Тогда существует производная функции и справедлива формула .

Доказательство. Сформулируем идею доказательства. Для функции рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента функции . С учетом существования (по условию теоремы) производных соответствующих функций при переходе к пределу в этом равенстве (все приращения в силу непрерывности одновременно стремятся к 0) мы приходим к формуле . Теорема доказана.

Следствие. (Производная обратной функции) Пусть задана монотонная функция . Тогда существует обратная ей функция , т. е. функция, обладающая свойством , , и при этом справедлива формула .

Доказательство. Для сложной функции производная, с одной стороны, равна 1, а, с другой стороны, равна произведению производных , откуда .

Таблица производных основных элементарных функций

Теорема 3. Справедливы следующие формулы для производных основных элементарных функций.

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)	11)	12)

Доказательство. Формула 1) очевидна, т. к. у константы приращение функции всегда равно 0. Рассмотрим теперь формулу 4) при , т. е. производную от натурального логарифма. Вычислим ее непосредственно:

.

Теперь заметим, что и справедлива формула . Формула 4) доказана.

Рассмотрим функцию , обратную к функции . Поэтому (производные берутся по соответствующим аргументам) . Теперь заметим, что , поэтому, с учетом правила вычисления производной сложной функции, . Формула 3) доказана.

Для вычисления табличной производной 2) применим так называемое правило логарифмического дифференцирования. Суть его заключается в том, что , и эта формула применяется, если производную от логарифма функции посчитать легче, чем от самой функции. В этом случае искомая производная вычисляется по формуле .

Итак, для функции рассмотрим соотношение-следствие или . Продифференцировав обе части полученного соотношения, получим , откуда и, наконец, . Формула 2) доказана.

Перейдем к доказательству формул второй строки таблицы. Вычислим производную функции после следующих преобразований: . Формула 5) доказана.

Формулы 6), 7), 8) являются прямым следствием формулы 5):

,

.

И, наконец, рассмотрим формулы третьей строки. Заметим, что функция является обратной к функции и поэтому . Учитывая, что в области определения арксинуса значения косинуса не могут принимать отрицательные значения, мы приходим к формуле . Далее, получим .

Теперь отметим, что функция является обратной к функции и поэтому . Вспомним формулу и поэтому . Далее, получим . Теорема 7 доказана.