Определение мощности множества всех подмножеств конечного множества (с использованием формулы бинома Ньютона)

Пусть А произвольное конечное n- элементное множество. Найдем мощность множества P(A), |P(А)|= , где S={0,1,...,n}.

Для определения величины |Р(А)| воспользуемся формулой бинома Ньютона.

, при условиях, что a=в=1.

Получаем, =|P(A)|.

Замечание.

Множество называется булеаноммножества А.

Понятия алгебраических и кардинальных операций. Алгебраические операции над множествами. Покрытие и разбиение множества.

Алгебраическимиоперациями называют такие, при выполнении которых результирующее множество либо пусто, либо состоит из элементов, из которых состоят и множества, подвергающиеся операциям.

Кардинальными операциями называют такие операции, при выполнении которых появляются новые элементы.

Основными алгебраическими операциями над множествами являются следующие:

- пересечение множеств,

- объединение множеств.

-разность множеств.

Пусть А и В - произвольные множества. Их пересечением называется множество

А В={x| x A и x B}.

Объединениеммножеств А и В называется множество

А В={x|x A или x B}.

Разностьюмножеств А и В называется множество А\В={x|x A, но x B}.

Используя понятие универса, можно ввести еще две операции над множествами - дополнение и симметрическую разность множеств.

Дополнением множества А (до универса J) называется множество =J\A, т.е. ={x| x J, но x A}.

Симметрической разностьюмножеств А и В называется множество

А В=(A\B) (B\A).

Если А В= , то говорят, что множества А и В не пересекаются.

Если X - некоторое множество и X=A В ... С, то множества А,В,...,С образуют покрытие множества X. Если при этом все множества А,В,...,С попарно не пересекаются, то система множеств А,В,...,С называется разбиением множестваX.

Поэлементное доказательство теоретико-множественных равенств.

Пусть А и В некоторые множества. Для того, чтобы проверить являются ли они равными, необходимо установить два соответствия : А В и В А.

Для установления соответствия А В необходимо показать, что текущий (т.е. произвольный) элемент множества А принадлежит множеству В. Такое доказательство называется поэлементным.

Покажем, например, справедливость утверждения:

(А В)\ (А В)= (А\В) (В\А).

Пусть N=(А В)\(А В), M=(А\В) (В\А).

Надо показать, что NM и MN.

Покажем, что NM.

Пусть x N, т.е. x (А В), но x (А В).

Если x А и x (А В), то x В, а отсюда x B\A.

Если x B и x (А В), то x A, а отсюда x A\B.

Получили, что всегда x принадлежит либо (А\В) либо (В\А), т.е x M.

Покажем, что MN.

Пусть x M, т.е. x А\В или x В\А.

Если x А\В, то x А и тем самым x А В.

Так как x В, то x А В, а тем самым x (А В)\ (А В)=N.

Аналогично доказывается и для случая x В\А.