Ответственный за выпуск: заведующий кафедрой теоретической и прикладной механики, д.т.н., доцент Нафиков М.З

Б2.В.2 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Направление подготовки бакалавра 110800 Агроинженерия

Профили:

Технические системы в агробизнесе;

Технический сервис в агропромышленном комплексе;

Электрооборудование и электротехнологии.

 

Направление подготовки бакалавра 140100 Теплотехника и теплоэнергетика

Профиль

Энергообеспечение предприятий

 

Уфа – 2012

УДК 531(07)

ББК 22.21Я7

Н34

Рекомендованы к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства (протокол № 11 от 25 мая 2012г.)

Составители: доктор технических наук, доцент Нафиков М.З.,

Кандидат технических наук, старший преподаватель Загиров И.И.

Рецензенткандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой математики ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный аграрный университет» Лукманов Р.Л.

 

Ответственный за выпуск: заведующий кафедрой теоретической и прикладной механики, д.т.н., доцент Нафиков М.З.

 

 

Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных точек и твердых тел с геометрической точки зрения, без учета их масс и действующих сил.

При исследовании кинематики точки решаются две основные задачи: 1) установление математических способов задания (описания) движения точки по отношению к данной системе отсчета; 2) определение по заданному закону движения точки всех кинематических характеристик этого движения (траектории, скорости, ускорения и т.д.).

При подготовке бакалавров направлений 110800 и 140100 рассматриваются три способа задания движения точки: 1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.

Векторный способ (рисунок 1.1). Положение точки М на траектории АВ можно задать векторным уравнением вида , где - радиус-вектор движущейся точки М, - время.

Рисунок 1.1 Векторный способ задания движения точки

Скорость точки в данный момент времени равна первой производной от радиус-вектора по времени . Вектор скорости направлен касательно траектории АВ. Ускорение точки М равно первой производной по времени от вектора скорости точки или второй производной от радиус-вектора, т.е. . Вектор ускорения расположен в соприкасающейся к траектории плоскости , в общем случае раскладывается на нормальную и касательную составляющие.

Координатный способ (рисунок 1.2). Положение точки в пространстве при этом способе определяется тремя ее координатам по зависимостям вида:

; ; .

Рисунок 1.2 Координатный способ задания движения точки

Проекции вектора скорости на оси координат равны:

; ; .

По проекциям определяется полная скорость точки

.

Аналогично определяется ускорение:

; ; ; .

Естественный способ задания движения точки. При этом способе должны быть известны: (рисунок 1.3): 1) траекторию точки; 2) начальное положение точки на траектории; 3) закон движения точки по траектории в виде зависимости , где - дуговая координата точки в м; - время в с.

Скорость направлена касательно траектории и по модулю равна .

Касательная и нормальная составляющие ускорения точки равны:

; ,

где - радиус кривизны траектории.

Полное ускорение точки равно:

; .

Рисунок 1.3 Естественный способ задания движения точки

При движении точки по прямой линии ее скорость и ускорение направлены по траектории (рисунок 1.4) и по величине равны:

; .

Рисунок 1.4 движение точки М по прямой АВ

При решении задач следует составить кинематическую схему, показать на ней движущуюся точку в текущий момент времени, выбрать рациональную систему осей координат. Составляются уравнения движения точки по одной из трех форм и определяются траектория и кинематические характеристики движения. Скорости и ускорения обязательно показываются на чертеже, при необходимости строятся графики.

 

Задача 1.1 Найти траекторию точки М шатуна кривошипно-ползунного механизма, изображенного на рисунке 1.1.1, если см, , рад ( - в секундах), а также определить скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки в момент, когда .

Рисунок 1.1.1 Кривошипно-ползунный механизм

Решение.

1. Пользуясь кинематической схемой на рисунке 1.1.1, определим координаты точки М на шатуне АВ:

; (1.1.1)

. (1.1.2)

Движение точки М задано координатным способом уравнениями (1.1.1) и (1.1.2).

2. Исключив из параметрических уравнений время (1.1.1) и (1.1.2) время , получим уравнение траектории точки М:

; ; . (1.1.3)

Уравнение (1.1.3) является уравнением эллипса.

3. Для заданного положения механизма определим скорость точки М:

м/с;

м/с;

м/с; . (1.1.4)

4. Определим ускорение точки:

м/с²;

;

м/с²; (1.1.5)

5. Касательное ускорение точки М для заданного положения механизма равно

.

6. Нормальное ускорение равно

. м/с².

7. Для заданного положения механизма радиус кривизны траектории точки М равен

м.

Задача 1.2 На проволочной окружности радиуса R = 10 см надето колечко М; через него проходит стержень ОА, который равномерно вращается вокруг точки О, лежащей на той же окружности; угловая скорость стержня такова, что он поворачивается на прямой угол в 5 секунд. Определить скорость и ускорение колечка М.

Рисунок 1.2.1 Скорость и ускорение колечка М

Решение. В данной задаче имеется три твердых тела: 1) неподвижная проволочная окружность радиуса R; 2) стержень ОА, равномерно вращающийся вокруг неподвижной оси О; 3) колечко М, принимаемое за материальную точку, движущееся по окружности радиуса R.

При равномерном вращении угол поворота стержня ОА равен . Угловую скорость стержня можно определить из условия, что стержень поворачивается на прямой угол в 5 секунд, т.е.

, откуда рад/с, рад.

В равнобедренном треугольнике ОМС угол при вершине С равен , следовательно дуговая координата точки М равна

.

Для точки М известны: 1) траектория – окружность радиуса ; начальное положение О точки на траектории; закон движения точки по траектории в виде зависимости . Таким образом, движение точки М задано в естественной форме.

Определим скорость точки

м/с; .

Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки.

Определим ускорение точки, имеющее в общем случае две составляющие – нормальную и касательную .

.

Нормальное ускорение направлено к центру кривизны траектории и по модулю равно

м/с².

Касательное ускорение точки , т.к. в данной задаче .

Таким образом, ускорение точки М равно м/с².

 

Задача 1.3 Точка М движется с постоянным ускорением по окружности радиуса R без начальной скорости (рисунок 1.3.1). Через сколько секунд после начала движения касательное и нормальное ускорения станут численно равны между собой?

Рисунок 1.3.1 Движение точки М по окружности

 

Решение. При движении по окружности нормальное и касательное ускорения точки определяются соответственно по формулам:

; .

Интегрируем уравнение и получим при :

; .

В искомый момент времени нормальное и касательное ускорения равны между собой:

; .

Задача 1.4 Стержень, конец А которого скользит от точки О по неподвижной прямой с постоянной скоростью , проходит через муфту, вращающуюся на шарнире вокруг неподвижной точки В. Известно: м/с; м; м.

1. Составить уравнения движения точки М механизма в декартовой системе осей координат.

2. Вычертить траекторию точки М.

3. Найти скорость точки М и построить график зависимости скорости точки от времени.

Рисунок 1.4.1 Расчетная схема к задаче 1.4

Решение.

В Δ АВО: ; ; .

Текущие координаты точки М равны:

;

. (1.4.1)

Введем обозначение

. (1.4.2)

Тогда текущие координаты точки можно определить:

; . (1.4.3)

Дважды дифференцируем выражение (1.4.2) по времени:

; . (1.4.5)

Продифференцировав (1.4.3) по времени, определяем скорость точки М:

; ; . (1.4.6)

Определяем промежуток времени , за который угол наклона стержня достигнет значения 60°:

; с.

Таблица 1.4.1 Кинематические параметры движения точки М стержня

, с	, м	, м	, м/с	, м/с	, м/с
	0,200			0,0180	0,0180
2,4	0,198	0,043	-0,0004	0,0301	0,0301
4,8	0,192	0,089	-0,008	0,0305	0,0305
7,2	0,184	0,137	-0,0012	0,0309	0,0310
9,6	0,173	0,188	-0,0015	0,0315	0,0315
12,0	0,162	0,243	-0,0018	0,0320	0,0321
14,4	0,151	0,301	-0,0020	0,0326	0,0326
16,8	0,141	0,362	-0,0021	0,0330	0,0331
19,2	0,131	0,465	-0,0023	0,0334	0,0335
21,6	0,120	0,556	-0,0024	0,0337	0,0338
24,0	0,114	0,623	-0,0025	0,0340	0,0341
26,4	0,107	0,623	-0,0025	0,0343	0,0344
28,8	0,100	0,691	-0,0026	0,0345	0,0346

 

Производим многократные расчеты по формулам (1.4.1-1.4.6), разбив промежуток времени на 12 равных частей. Используем электронную таблицу Excel для проведения вычислений и построения графиков на рисунках 1.4.2 и 1.4.3.

Рисунок 1.4.2 Траектория точки М стержня	Рисунок 1.4.3 График зависимости скорости точки М от времени

Задача 1.5 Колесо радиуса м катится без скольжения по прямолинейному рельсу (рисунок 1.5.1). Скорость центра колеса постоянна и равна м/с. Точка М лежит на продолжении радиуса СА колеса, м. В начальный момент радиус СА занимал нижнее вертикальное положение.

1. По заданному движению механизма составить уравнения движения точки М механизма в декартовой системе осей координат.

2. Вычертить траекторию точки М.

3. Найти скорость точки М.

4.Определить касательное, нормальное и полное ускорения точки, радиус кривизны траектории. Построить графики зависимостей скорости и касательного ускорения точки Мот времени.

Решение. Пользуясь кинематической схемой на рисунке 1.4.1, составим уравнения движения точки М механизма в декартовой системе осей координат.

 

 

Рисунок 1.5.1 Кинематическая схема к задаче 1.5

При движении с постоянной скоростью путь, пройденный центром С колеса равен

.

Угол поворота колеса, катящегося без скольжения, равен

.

Определим координаты точки М:

,

. (1.4.1 )

Дифференцируем уравнения (1.4.1) и определяем скорость точки М:

, ,

. (1.4.2)

Аналогично определяем ускорение точки:

, ,

. (1.4.3)

Касательное ускорение точки М равно

. (1.4.4)

Нормальное ускорение

. (1.4.5)

Вычислим радиус кривизны траектории точки М

. (1.4.6)

Определим время одного оборота колеса, приравняв угол поворота :

. (1.4.7)

Поделив время на 12 частей, производим многократные вычисления по формулам (1.4.1-1.4.6). Результаты вычислений приведены в таблице . По результатам вычислений построены траектория точки М, графики скорости и касательного ускорения (рисунки 1.5.2, 1.5.3 и 1.5.4 соответственно). Расчеты и оформление упрощаются при использовании электронной таблицы Excel.

Рисунок 1.5.2 Тректория вынесенной точки М колеса – удлиненная циклоида

 

Рисунок 1.5.3 Зависимость скорости точки М от времени

 

Рисунок 1.5.4 Зависимость касательного ускорения точки М от времени

Задача 1.6 Прямая АВ катится без скольжения по окружности радиуса м так, что уголизменяется по закону рад. В начальный момент точка М совпадала с точкой К. Требуется:

 

1. По заданному движению механизма составить уравнения движения точки М механизма в декартовой системе осей координат.

2. Вычертить траекторию точки М.

3. Найти скорость точки М.

4. Определить касательное, нормальное и полное ускорения точки, радиус кривизны траектории.

5. Построить графики скорости и полного ускорения точки.

Рисунок 1.6.1 Кинематическая схема к задаче 1.6

Решение. 1. Пользуемся кинематической схемой на рисунке 1.6.1. Составим уравнения движения точки М механизма в декартовой системе осей координат. При качении прямой АВ по основной окружности длина дуги РК равна длине отрезка РМ, т.е.:

.

Координаты точки М равны:

;

. ( 1.6.1)

2. Скорость точки М находим по ее проекциям на оси координат: ;

;

. (1.6.2)

3. Аналогично определяем ускорение точки:

;

;

. (1.6.3)

4. Касательная составляющая ускорения определяется по формуле

. (1.6.4)

5. Вычисляем нормальное ускорение точки М

. (1.6.5)

6. Находим радиус кривизны траектории

. (1.6.6)

Вычисляем время , за которое стержень АВ повернется на угол рад:

с.

Поделив время на 12 частей, производим многократные вычисления по формулам (1.6.1-1.6.6). Результаты вычислений приведены в таблице 1.6.1. По результатам вычислений построена на рисунке 1.6.2 траектория точки М, графики изменения скорости и ускорения точки (рисунок 1.6.3).

Рисунок 1.6.2 Траектория точки М – эвольвента

 

 

Рисунок 1.6.3 Зависимости скорости и ускорения точки М от времени

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Основная литература:

1. Диевский В.А. Теоретическая механика [Текст]: Курс лекций / В.А. Диевский. - 2-е изд., испр., – С-Пб.: Лань, 2009. - 320 с.

2. Диевский В.А., Малышева И.А. Теоретическая механика [Текст]: Сборник заданий / В.А. Диевский, И.А. Малышева. - 2-е изд., испр.. – С-Пб.: Лань, 2009. - 192 с..

3. Доев В.С., Доровин Ф.А. Сборник заданий по теоретической механике на базе MATCAD [Текст]: Учебник / В.С. Доев, Ф.А. Доровин. - 1-е изд. С-Пб.: Лань, 2010.- 592 с.

4. Кепе О.Э. Сборник коротких задач по теоретической механике [Текст]: Учебник / О.Э. Кепе. - 3-е изд. С-Пб.: Лань, 2009. - 368 с.

5. Лачуга Е.Ф., Ксендзов В.А. Теоретическая механика [Текст]: Учебник / Ю.Ф. Лачуга, В.А. Ксендзов – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Колос, 2005. – 570 с.

6. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики [ Текст]: учебник / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р.Меркин. - 9-е изд. В 2-х томах. С-Пт., М., Краснодар: 2007. -736 с.

7. Задачи по теоретической механике [Текст] : учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по техн. спец. / И. В. Мещерский ; под ред. В. А. Пальмова, Д. Р. Меркина. - 50-е изд., стер. – С-Пб.: М. ; Краснодар : Лань, 2010. - 448 с.

8. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики [Текст]: Учебник / Н.Н.Никитин. - 8-е изд. стер. - С-Пб.: Лань, 2009. - 368 с.

Дополнительная литература:

1. Чуркин В.М. Решение задач по теоретической механике [Текст]: Геометрическая статика / В.М. Чуркин. - 1-е изд. С-Пб.: Лань 2009. - 304 с.

2. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике [Текст] : учеб. пособие для студ. втузов / [А. А. Яблонский и др.] ; под ред. А. А. Яблонского. М. :Кнорус, 2010. - 382 с.